Trigonometria – maturitná téma

Trigonometria – maturitná téma

Čo je trigonometria?

Trigonometria pochádza z gréckeho slova a v preklade znamená „riešiť trojuholník“.
Riešiť trojuholník znamená vypočítať neznáme údaje, ako sú:

• uhly,
• strany,
• ťažnice,
• výšky,
• obsah,
• obvod,
• polomer opísanej a vpísanej kružnice trojuholníka.

Pravouhlý trojuholník

Pytagorova veta

V pravouhlom trojuholníku platí:
a² + b² = c²,
kde c je prepona a a, b sú odvesny.

Geometrická interpretácia:
Obsah štvorca zostrojeného nad preponou pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu obsahov štvorcov zostrojených nad oboma odvesnami.

Euklidove vety

1. Euklidova veta o výške:
   v_c² = c₁ * c₂
   Výška pravouhlého trojuholníka je strednou hodnotou medzi úsekmi prepony.

2. Euklidova veta o odvesne:
   a² = c * c₁
   b² = c * c₂
   Odvesna je strednou hodnotou medzi celou preponou a príslušným úsekom prepony.

Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

1. Sínus:
   sin(α) = protiľahlá odvesna / prepona
2. Kosínus:
   cos(α) = priľahlá odvesna / prepona
3. Tangens:
   tg(α) = protiľahlá odvesna / priľahlá odvesna
4. Kotangens:
   cotg(α) = priľahlá odvesna / protiľahlá odvesna

Všeobecný trojuholník

Všeobecný trojuholník nemá pravý uhol, preto sa na jeho výpočty používajú iné metódy.

Sínusová veta

a / sin(α) = b / sin(β) = c / sin(γ) = 2R,
kde R je polomer opísanej kružnice.

Význam:
V ľubovoľnom trojuholníku je pomer dĺžky strany k sínusu protiľahlého uhla konštantný.

Kosínusová veta

c² = a² + b² – 2ab * cos(γ)
b² = a² + c² – 2ac * cos(β)
a² = b² + c² – 2bc * cos(α)

Význam:
Pomáha vypočítať stranu trojuholníka, ak poznáme dve strany a uhol medzi nimi.

Ak je cos(γ) kladný, uhol je ostrý.
Ak je cos(γ) záporný, uhol je tupý.

Výpočet obsahu trojuholníka

1. Pre pravouhlý trojuholník:
   S = (a * b) / 2
2. Pre ľubovoľný trojuholník:
   S = (a * v_a) / 2
   S = (1/2) * a * b * sin(γ)
3. Heronov vzorec:
   S = √[s * (s – a) * (s – b) * (s – c)],
   kde s = (a + b + c) / 2 je polovičný obvod.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.