Stereometria – maturitná téma

Stereometria – maturitná téma

Priestorové zobrazenia

Na zobrazovanie priestorových útvarov do roviny môžeme použiť:

• Lineárnu perspektívu – využívanú vo výtvarnom umení.
• Pravidlo vzdialenosti – vzdialenejšie útvary sa javia menšie.
• Zobrazovanie rovnobežných priamok – pri premietaní do roviny sa môžu zobraziť ako rôznobežky.
• Voľné rovnobežné premietanie – používané v technickej praxi, zachováva rovnobežnosť a deliaci pomer.

Súradnicová sústava v priestore

• Zvolíme tri priamky OI, OJ, OK, ktoré neležia v jednej rovine.
• Bod O je začiatkom súradnicovej sústavy.
• Priamky OI, OJ, OK sú súradnicové osi.
• Súradnice bodu X(x, y, z) určujeme ako vzdialenosti od jednotlivých osí.

Ak sú súradnicové osi navzájom kolmé, sústava je ortogonálna.
Ak navyše platí, že všetky jednotky na osiach sú rovnaké, ide o ortonormálnu (karteziánsku) sústavu.

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore

Pre body A(a1, a2, a3) a B(b1, b2, b3) sa vzdialenosť vypočíta ako:

AB = sqrt((b1 – a1)^2 + (b2 – a2)^2 + (b3 – a3)^2)

Stred úsečky v priestore

Ak sú dané dva body A(a1, a2, a3) a B(b1, b2, b3), súradnice stredu úsečky S sú:

S = ((a1 + b1) / 2, (a2 + b2) / 2, (a3 + b3) / 2)

Vzájomná poloha priamok v priestore

Dve priamky môžu mať v priestore tieto vzájomné polohy:

1. Rovnobežné – ak majú rovnaký smerový vektor.
2. Rôznobežné – ak ležia v jednej rovine a pretínajú sa v jednom bode.
3. Mimobežné – ak neležia v jednej rovine a nemajú žiadny spoločný bod.

Vzájomná poloha priamky a roviny

Priamka a rovina môžu mať tieto vzájomné polohy:

1. Priamka leží v rovine – ak všetky jej body spĺňajú rovnicu roviny.
2. Priamka pretína rovinu – ak existuje jediné riešenie sústavy rovníc.
3. Priamka je s rovinou rovnobežná – ak smerový vektor priamky je kolineárny s rovinou a priamka neleží v rovine.

Vzájomná poloha dvoch rovín

Dve roviny môžu byť:

1. Rovnobežné – ak ich normálové vektory sú lineárne závislé.
2. Splývajúce – ak majú rovnakú rovnicu.
3. Rôznobežné – ak sa pretínajú v jednej priamke.

Rez telesa rovinou

Rez telesa je prienik telesa s rovinou.
Rezom mnohostenu je mnohouholník.

Príklady rezov:

• Kváder rezaný rovinou rovnobežnou s podstavou → obdĺžnik.
• Kužel rezaný rovinou rovnobežnou s podstavou → kruh.
• Kužel rezaný rovinou šikmo → elipsa.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.