Variácie a permutácie – maturitná téma

Variácie a permutácie – maturitná téma

Variácie

Variácie sú usporiadané k-tice vytvorené z n prvkov. Záleží na poradí prvkov.

Variácie s opakovaním

Ak máme množinu M s n prvkami, potom každá usporiadaná k-tica vytvorená z prvkov tejto množiny, v ktorej sa prvky môžu opakovať, je variácia k-tej triedy z n prvkov s opakovaním.

Počet všetkých možných variácií je daný vzorcom:

V'(n, k) = n^k

Variácie bez opakovania

Ak máme množinu M s n prvkami, potom každá usporiadaná k-tica, v ktorej sa prvky nemôžu opakovať, je variácia k-tej triedy z n prvkov bez opakovania.

Počet všetkých možných variácií je daný vzorcom:

V(n, k) = n! / (n – k)!

kde n! (n faktoriál) sa počíta ako:

n! = n * (n – 1) * (n – 2) * ... * 2 * 1
a 0! = 1.

Permutácie

Permutácie sú usporiadané n-tice vytvorené zo všetkých n prvkov množiny. Záleží na poradí prvkov.

Permutácia bez opakovania

Permutácia je špeciálny prípad variácie, kde k = n. Počet všetkých možných permutácií bez opakovania je:

P(n) = n!

Permutácia s opakovaním

Ak sa niektoré prvky opakujú, počet všetkých možných permutácií s opakovaním sa vypočíta podľa vzorca:

P(n; n1, n2, ..., nk) = n! / (n1! * n2! * ... * nk!)

kde:

• n je počet všetkých prvkov,
• n1, n2, ..., nk sú počty opakovaní jednotlivých prvkov.

Podmienka: n1 + n2 + ... + nk = n.

Príklady

1. Variácie s opakovaním
   Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať 3 číslice, ak máme k dispozícii čísla {1, 2, 3, 4}?
   Počet variácií: V'(4,3) = 4^3 = 64.

2. Variácie bez opakovania
   Koľkými spôsobmi môžeme vybrať a usporiadať 3 písmená zo slovka „MATH“?
   Počet variácií: V(4,3) = 4! / (4 – 3)! = 24.

3. Permutácia bez opakovania
   Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať slovo „TIGER“?
   Počet permutácií: P(5) = 5! = 120.

4. Permutácia s opakovaním
   Koľkými spôsobmi môžeme usporiadať slovo „MAMA“?
   Počet permutácií: P(4;2,2) = 4! / (2! * 2!) = 24 / 4 = 6.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.