Pytagorova veta a kocka

Pytagorova veta a kocka

Pytagorova veta

Pytagorova veta platí v pravouhlom trojuholníku a hovorí, že súčet štvorcov dĺžok odvesien sa rovná štvorcu dĺžky prepony.

Zápis:

c² = a² + b²

Táto veta sa často používa aj pri výpočtoch uhlopriečok v kocke.

Kocka – základné označenia

• a – dĺžka hrany kocky
• uₛ – dĺžka stenovej uhlopriečky
• uₜ – dĺžka telesovej uhlopriečky

Stenová uhlopriečka kocky

Stenová uhlopriečka leží na jednej stene kocky. Vzniká v pravouhlom trojuholníku, ktorého odvesny majú dĺžku a a a.

Vzorec:

uₛ² = a² + a²
uₛ = √(2a²)

Príklad 1

Vypočítaj dĺžku stenovej uhlopriečky kocky, ak a = 6 cm.

uₛ² = 6² + 6²
uₛ² = 36 + 36
uₛ² = 72
uₛ = 8,49 cm

Telesová uhlopriečka kocky

Telesová uhlopriečka prechádza vnútrom kocky a spája dva protiľahlé vrcholy. Vypočítame ju pomocou stenovej uhlopriečky a hrany kocky.

Vzorec:
uₜ² = a² + uₛ²

Príklad 2

Vypočítaj dĺžku telesovej uhlopriečky kocky s hranou a = 9 cm.

Najskôr stenová uhlopriečka:

uₛ² = 9² + 9²
uₛ² = 81 · 2
uₛ² = 162
uₛ = 12,73 cm

Potom telesová uhlopriečka:

uₜ² = 9² + 12,73²
uₜ² = 81 + 162
uₜ² = 243
uₜ = 15,59 cm

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj dĺžku telesovej uhlopriečky kocky s hranou a = 11 cm.

Vypočítaj:

• povrch kocky
• objem kocky
• dĺžku stenovej uhlopriečky
• dĺžku telesovej uhlopriečky

ak má kocka hranu a = 13 cm.

Dôležitá poznámka

Pri výpočtoch uhlopriečok v kocke si vždy treba uvedomiť, že pracujeme s pravouhlými trojuholníkmi, a preto môžeme opakovane použiť Pytagorovu vetu.