Pytagorova veta a kružnica

Pytagorova veta a kružnica

Základné pojmy

• t – tetiva kružnice
• t / 2 – polovica tetivy
• v – vzdialenosť tetivy od stredu kružnice
• r – polomer kružnice
• d – priemer kružnice

Pri riešení úloh s kružnicou často vzniká pravouhlý trojuholník, v ktorom môžeme použiť Pytagorovu vetu.

Základný vzťah:

r² = v² + (t / 2)²

Vzdialenosť tetivy od stredu kružnice

Ak poznáme dĺžku tetivy a polomer kružnice, vzdialenosť tetivy od stredu vypočítame z Pytagorovej vety.

Príklad 1

Vypočítaj vzdialenosť tetivy dlhej 8 cm od stredu kružnice s polomerom 5 cm.

r² = v² + (t / 2)²
5² = v² + 4²
25 = v² + 16
v² = 9
v = 3 cm

Výpočet priemeru kružnice

Ak poznáme vzdialenosť tetivy od stredu a polovicu tetivy, môžeme vypočítať polomer a následne priemer kružnice.

Príklad 2

Vypočítaj priemer kružnice podľa údajov na obrázku.

r² = 7,5² + 4²
r² = 56,25 + 16
r² = 72,25
r = 8,5 cm

Priemer:
d = 2 · r
d = 17 cm

Dĺžka tetivy v kružnici

Ak poznáme polomer kružnice a vzdialenosť tetivy od stredu, najskôr vypočítame polovicu tetivy a potom celú tetivu.

Príklad 3

Vypočítaj dĺžku tetivy v kružnici s polomerom 13 cm, ak je od stredu vzdialená 8 cm.

r² = v² + (t / 2)²
13² = 8² + b²
169 = 64 + b²
b² = 105
b = 10,25 cm

t = 2 · b
t = 20,5 cm

Dĺžka kružnice

Ak poznáme polomer kružnice, jej dĺžku vypočítame zo vzorca:

o = 2 · π · r

Príklad 4

Vypočítaj dĺžku kružnice, ak tetiva dlhá 11 cm je vzdialená od stredu kružnice 3 cm.

r² = 3² + 5,5²
r² = 9 + 30,25
r² = 39,25
r = 6,26 cm

o = 2 · 3,14 · 6,26
o = 39,34 cm

Postup riešenia úloh

Pri úlohách s kružnicou:

• vždy si zostrojíme pravouhlý trojuholník,
• použijeme Pytagorovu vetu,
• podľa zadania dopočítame tetivu, polomer, priemer alebo dĺžku kružnice.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• vzdialenosť tetivy dlhej 19 cm od stredu kružnice s priemerom 28 cm,
• dĺžku kružnice, ak tetiva dlhá 18 cm je od jej stredu vzdialená 8 cm,
• dĺžku tetivy v kružnici s priemerom 32 cm, ak je od stredu vzdialená 5 cm,
• priemer kružnice, ak tetiva dlhá 5 cm je od stredu kružnice vzdialená 2 cm.

Dôležitá poznámka

Pri úlohách s kružnicou je kľúčové uvedomiť si, že polomer, vzdialenosť tetivy od stredu a polovica tetivy vždy tvoria pravouhlý trojuholník, vďaka čomu môžeme efektívne použiť Pytagorovu vetu.