Pytagorova veta a pravouhlý lichobežník

Pytagorova veta a pravouhlý lichobežník

Pravouhlý lichobežník – základné pojmy

Pravouhlý lichobežník je štvoruholník, ktorý má:

• dve rovnobežné strany – základne a, c,
• jednu stranu kolmicu na základne – výšku v,
• jednu šikmú stranu – rameno r.

Označenie:

• a – dolná základňa
• c – horná základňa
• v – výška lichobežníka
• r – šikmé rameno

Pytagorova veta v pravouhlom lichobežníku

Šikmé rameno, výška a rozdiel základní vytvárajú pravouhlý trojuholník, v ktorom platí:

r² = v² + (a − c)²

Tento vzorec používame na výpočet chýbajúcej strany.

Výpočet výšky lichobežníka

Príklad 1

Vypočítaj dĺžku výšky v pravouhlom lichobežníku, ak:

• a = 12 cm
• c = 7 cm
• r = 7 cm

Najskôr vypočítame rozdiel základní:

a − c = 12 − 7 = 5 cm

Použijeme Pytagorovu vetu:

7² = v² + 5²
49 = v² + 25
v² = 24
v = 4,9 cm

Obvod pravouhlého lichobežníka

Obvod vypočítame ako súčet všetkých strán:

o = a + b + c + r

V pravouhlom lichobežníku platí:

b = v

Obsah pravouhlého lichobežníka

Obsah vypočítame zo vzorca:

S = (a + c) · v / 2

Príklad 2

Vypočítaj obvod a obsah pravouhlého lichobežníka, ak:

• a = 11 cm
• c = 8 cm
• v = 6 cm

Najskôr dopočítame rameno:

r² = 6² + (11 − 8)²
r² = 36 + 9
r² = 45
r = 6,71 cm

Obvod:

o = 11 + 6 + 8 + 6,71
o = 31,71 cm

Obsah:

S = (11 + 8) · 6 / 2
S = 19 · 3
S = 57 cm²

Postup riešenia úloh

Pri úlohách s pravouhlým lichobežníkom:

• vytvoríme pravouhlý trojuholník z výšky, rozdielu základní a šikmého ramena,
• použijeme Pytagorovu vetu,
• dopočítame obvod a obsah.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• obvod a obsah pravouhlého lichobežníka s rozmermi z obrázka,
• dĺžku šikmého ramena, ak poznáš základne a výšku,
• výšku, ak poznáš obe základne a šikmé rameno.

Dôležitá poznámka

V pravouhlom lichobežníku sa Pytagorova veta vždy uplatňuje medzi výškou, rozdielom základní a šikmým ramenom, preto je veľmi dôležité správne určiť, ktoré strany tvoria pravouhlý trojuholník.