Pytagorova veta a rovnoramenný lichobežník

Pytagorova veta a rovnoramenný lichobežník

Rovnoramenný lichobežník – základné pojmy

Rovnoramenný lichobežník je štvoruholník, ktorý má:

• dve rovnobežné strany – základne a, c,
• dve rovnako dlhé šikmé strany – ramená r,
• výšku v, ktorá je kolmá na základne.

Označenie:

• a – dolná základňa
• c – horná základňa
• r – rameno lichobežníka
• v – výška lichobežníka

Pytagorova veta v rovnoramennom lichobežníku

Po spustení výšky vzniknú na oboch stranách dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Ich vodorovná odvesna má dĺžku:

(a − c) / 2

Pre rameno platí vzťah:

r² = v² + ((a − c) / 2)²

Výpočet dĺžky ramena

Príklad 1

Vypočítaj dĺžku ramena rovnoramenného lichobežníka, ak:

• a = 11 cm
• c = 7 cm
• v = 5 cm

Najskôr vypočítame polovicu rozdielu základní:

(11 − 7) / 2 = 2 cm

Použijeme Pytagorovu vetu:

r² = 5² + 2²
r² = 25 + 4
r² = 29
r = 5,39 cm

Výpočet obvodu rovnoramenného lichobežníka

Obvod vypočítame ako súčet všetkých strán:

o = a + c + 2r

Príklad 2

Vypočítaj obvod rovnoramenného lichobežníka, ak:

• c = 9 cm
• v = 4 cm
• r = 5 cm

Najskôr vypočítame polovicu rozdielu základní:

r² = v² + b²
5² = 4² + b²
25 = 16 + b²
b² = 9
b = 3 cm

Dolná základňa:

a = 3 + 9 + 3
a = 15 cm

Obvod:

o = 15 + 9 + 2 · 5
o = 34 cm

Obsah rovnoramenného lichobežníka

Obsah vypočítame zo vzorca:

S = (a + c) · v / 2

Príklad 3

Vypočítaj obsah rovnoramenného lichobežníka, ak:

• a = 7 cm
• c = 4 cm
• r = 6 cm

Najskôr vypočítame výšku:
(7 − 4) / 2 = 1,5 cm

r² = v² + 1,5²
36 = v² + 2,25
v² = 33,75
v = 5,81 cm

Obsah:
S = (7 + 4) · 5,81 / 2
S = 31,96 cm²

Postup riešenia úloh

Pri úlohách s rovnoramenným lichobežníkom:

• vždy rozdelíme lichobežník výškami na pravouhlé trojuholníky,
• použijeme Pytagorovu vetu na výpočet výšky alebo ramena,
• následne vypočítame obvod a obsah.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• obvod a obsah rovnoramenného lichobežníka s rozmermi a = 13 cm, c = 8 cm, r = 7 cm,
• obvod a obsah rovnoramenného lichobežníka s rozmermi a = 10 cm, c = 16 cm, v = 5 cm.

Dôležitá poznámka

Pri rovnoramennom lichobežníku je kľúčové uvedomiť si, že rozdiel základní sa vždy rozdelí na dve rovnaké časti, ktoré spolu s výškou tvoria pravouhlý trojuholník. Vďaka tomu môžeme bezpečne použiť Pytagorovu vetu.