Pytagorova veta a rovnoramenný trojuholník

Pytagorova veta a rovnoramenný trojuholník

Rovnoramenný trojuholník – základné pojmy

Rovnoramenný trojuholník je trojuholník, ktorý má:

• dve rovnako dlhé strany – ramená r,
• jednu odlišnú stranu – základňu z,
• výšku v, ktorá je kolmá na základňu a zároveň ju rozdeľuje na dve rovnaké časti.

Označenie:

• r – rameno
• z – základňa
• v – výška

Pytagorova veta v rovnoramennom trojuholníku

Po spustení výšky vzniknú dva zhodné pravouhlé trojuholníky. Každý z nich má:

• jednu odvesnu v,
• druhú odvesnu z / 2,
• preponu r.

Platí vzťah:

r² = v² + (z / 2)²

Výpočet výšky trojuholníka

Príklad 1

Vypočítaj výšku v rovnoramennom trojuholníku so základňou 8 cm a ramenom 12 cm.

z / 2 = 4 cm

12² = v² + 4²
144 = v² + 16
v² = 128
v = 11,31 cm

Výpočet dĺžky ramena

Príklad 2

Vypočítaj dĺžku ramena v rovnoramennom trojuholníku so základňou 11 cm a výškou 15 cm.

z / 2 = 5,5 cm

r² = 15² + 5,5²
r² = 225 + 30,25
r² = 255,25
r = 15,98 cm

Výpočet dĺžky základne

Príklad 3

Vypočítaj dĺžku základne v rovnoramennom trojuholníku s ramenom 18 cm a výškou 13 cm.

18² = a² + 13²
324 = a² + 169
a² = 155
a = 12,45 cm

z = 2 · a
z = 24,9 cm

Obvod rovnoramenného trojuholníka

Obvod vypočítame ako súčet všetkých strán:

o = z + 2 · r

Obsah rovnoramenného trojuholníka

Obsah vypočítame zo vzorca:

S = (z · v) / 2

Príklad 4

Vypočítaj obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s výškou 8 cm a základňou 5 cm.

Najskôr vypočítame rameno:

r² = 8² + 2,5²
r² = 64 + 6,25
r² = 70,25
r = 8,38 cm

Obvod:

o = 5 + 2 · 8,38
o = 21,76 cm

Obsah:

S = 5 · 8 / 2
S = 20 cm²

Postup riešenia úloh

Pri úlohách s rovnoramenným trojuholníkom:

• vždy spustíme výšku na základňu,
• uvedomíme si, že základňa sa rozdelí na dve rovnaké časti,
• použijeme Pytagorovu vetu,
• následne vypočítame obvod a obsah.

Úlohy na precvičenie

Vypočítaj:

• obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka so základňou 17 cm a ramenom 15 cm,
• obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s výškou 11 cm a základňou 9 cm,
• obvod a obsah rovnoramenného trojuholníka s ramenom 16 cm a výškou 10 cm.

Dôležitá poznámka

V rovnoramennom trojuholníku výška vždy rozdeľuje základňu na dve rovnaké časti a vytvára pravouhlý trojuholník, vďaka čomu je použitie Pytagorovej vety prirodzené a veľmi efektívne.