Matematika a fyzika v umení

Matematika a fyzika v umení

1. ÚVOD A NAZNAČENIE PROBLÉMU
Táto téma je veľmi zložitá a rozsiahla. Údaje som prevažne čerpal z kníh a priznávam že bolo náročné vybrať zo stoviek strán to zaujímavé a podstatné. Vždy keď som niekomu povedal názov mojej témy, myslel na niečo úplne iné ako ja, ale i tak správne. Matematika a fyzika sa dá v umení nájsť kade kde. Je mi až ľúto, že sa môžem venovať všetkému k čomu som sa dostal a na čo som narazil počas zbierania informácií. Spomeniem niekoľko zaujímavostí z tejto oblasti, ktoré som však nerozpracoval do podrobností, keďže mám na prezentáciu tohto projektu len 20 minút.

V histórií umenia by sme ako prvé mohli hľadať matematiku v proporciách. Od zrodu umenia v praveku až po súčasnosť je človek jedným z ústredných motívov umenia. Môžeme teda porovnávať jeho matematické proporcie v rôznych obdobiach. Pri proporciách tela sa brala do úvahy istá časť tela (kánon) na základe ktorej sa proporčne rozrátavali iné časti tela. U Egypťanov bola kánonom noha. U Grékov hlava. Grék Vitruvius vo svojej knihe rozpísal jednotlivé proporcie tela (spomeniem pomer hlava telo 1:8, v Egypte 1:9), ktoré sú dodnes považované sa dokonalé a symbol krásy. V neskorších obdobiach sa umelci s radosťou obracajú na antiku kde bola proporciám tela venovaná veľká pozornosť. Taktiež by som mohol spomenúť lineárnu perspektívu, ktorá má počiatky v renesancií (spomeniem Massaciovu fresku ktorá vytvára dojem až hmatateľného priestoru a Da Vinciho Poslednú večeru, kde sa bod zbiehania nachádza v Kristovej Hlavne ( Príloha A1, A2)
Hneď na začiatku som bol rozhodnutý venovať časť tejto práce zlatému rezu. Fyzici poznajú mnoho konštánt, ktoré získali nekonečným meraním,  experimentovaním a výpočtami.  Aj matematici majú svoje tajomné čísla: π  = 3,141 592 654…,  e  = 2,718 281 828…, Zlatý, resp. božský rez určite patrí k týmto číslam. Jeho vlastnosti, výskyt, použitie a význam iba začíname objavovať.

Ako druhý okruh mojej práce som si vybral používanie optiky v umení. Rozhodol som sa na základe jednej knihy, ktorú som si zhruba pred rokom letmo pozrel a teraz si na ňu spomenul. Po prvom prečítaní tejto knihy som si mierne poopravil mienku o niekoľkých umelcoch, ale keď som sa zamyslel nad vtedajšou situáciou ich zvedavosť a vynaliezavosť neodcudzujem. V tejto práci nie sú žiadne obrázky, keďže i tak som prekročil obsah ( a na poslednú chvíľu vymazal kapitolu o geniálnom matematikovi- umelcovi M. C Escherovi). Myslím, že hromadu obrázkov nájdete v prílohe.

2. OPTIKA
2.1Úvod do optiky:
Od začiatku pätnásteho storočia používalo mnoho západných umelcov k vytváraniu živých projekcií optiku- zrkadlá, šošovky aj cameru obscuru. Umelci boli vždy veľký tajnostkári a len niekoľko z nich opísalo používanie týchto pomôcok. Konkrétne, začalo sa to okolo roku 1430 (samozrejme vychádzali z prác Alhazana 965-1038, Rogera Bacona 1212-1294 či Vitelliona okolo 1275)  v Holandsku (Van Eyck, Campin, Van der Weyden..) , v Taliansku sa to stalo známejším až okolo 1500 (Da Vinci, Raffael a Giorgione experimentovali s optikou). V Caravaggiovej dobe boli optické pomôcky používané už 170 a maliari ako Giambattista della Porta učili maliarov zaobchádzanie s nimi. Optika bola pomôcka k dosiahnutiu čo najdokonalejšieho naturalizmu. Tento trend trval až do objavu fotky, kedy umenie dostalo tvrdú ranu pod pás ( vďaka pokrokom v spomínanej optike)
 Avšak dôkazy, ktoré zanechala optika na veľdielach môžeme skúmať dodnes. Optika nebola vždy považovaná za pomôcku pre umelca. V stredovekej Európe boli premietané „zjavenia“ považované za magické. Práca s optikou si vyžadovala aj talent čo sa týka prepojenia ruka oko. Nie je to niečo čo sa dá naučiť ako miešanie farieb a je to ľahšie predviesť ako opísať. 
Optické systémy nevytvárajú výraz. Sú len prostriedkami merania. Umelec zostáv zodpovedný, aby sa vyrovnal s technickými problémami a pretvoril odraz v maľbu. Mnohý umelci sa natoľko spoliehali na optiku, že proporčne sú ich obrazy veľmi rozhádzané.

2.2Rozdelenie:
2.2.1 Camera Obscura:
Je prirodzený optický systém s dlhou históriou. Vo svojej najjednoduchšej podobe to nie je nič iné ako malý otvor cez ktorý prúdi všetko svetlo z oslnenej záhrady do temnej miestnosti a premieta na protiľahlú stenu prevrátený obraz skutočnosti. Priemer otvoru ovplyvňuje ostrosť a jasnosť premietaného obrazu. Ako prvý tento jav opísal Aristoteles.

Poznáme tri základné camery obscury:
1.  Malý otvor vytvorí v zatemnenej miestnosti stranovo a výškovo prevrátený obraz. Obraz nie je zaostrený. (Príloha W1)
2.  Keď je obraz premietnutý pomocou zrkadla (najmä duté) na dosku, je stále výškovo prevrátený ale nie stranovo. Zaostrenie sa dosiahne posúvaním zrkadla zozadu a dopredu.
3.   Šošovka vytvorí  omnoho jasnejší obraz, ale aby sme dosiahli ostrého obrazu je treba mať pohyblivú dosku a šošovky (Príloha W2)

Zrkadlová šošovka nikdy nevytvorí ostro a kvalitne obraz väčší ako 30 cm v priemere. To je optická vlastnosť všetkých dutých zrkadiel. Maľby vytvorené pomocou zrkadlových šošoviek musia byť teda veľmi malé alebo to musia byť koláže zostavené z malých záberov: portréty, detaily rúk, odevu, nôh, častí krajiny či zátišie. V priebehu 16 storočia sa zátišie stalo uznávaným žánrom. Sú to skvelé objekty pre optickú projekciu.

Camera obscura umožňuje pri požití vhodných šošoviek a konvexných zrkadiel zväčšenie a zaostrenie obrazu. Nedá sa to však aplikovať na celý obraz a preto pri zaostrovaní môžu vznikať nezrovnalosti. Jej používanie sa dá naopak tiež dokázať absolútnou presnosťou v maľbe absolútnych detailov, ktoré boli zvládnuté nakresliť na jeden ťah, respektíve na prvý pokus bez prerábania. Projekcie za pomoci zrkadlovej šošovky majú takéto znaky: predmety na ktoré sa pozeráme spredu majú silné tiene ( kvôli silnému zdroju svetla), temné pozadie a obmedzenú hĺbku . Umelci našli spôsob ako tieto obmedzenia prekonať tým, že zostavovali rôzne časti do jedného celku (koláž). Na tieto časti sa však umelec pozerá spredu a zblízka a len vďaka jeho kompozičnej šikovnosti sme presvedčený o jednote priestoru.
Keď sa vlastnosti šošovky dostatočne zdokonalili, mohli nahradiť duté zrkadlo (niekedy v 16. Storočí) a znamenalo to výhodu- rozšírenie zorného poľa. Táto premena zasiahla niekoľkých autorov, no najmä Caravaggia. Ovplyvnil celú radu mladých umelcov po celej Európe (Caravaggistov)

2.2.2 Camera Lucida
Po roku 1800 pribudol ku camere obscure a Claudeho zrkadlu nový arzenál optických zariadení. Najvýznačnejším z nich bola camera lucida ktorú objavil významný fyzik, optik a chemik William Hyde Wollastone. Bola patentovaná v roku 1806 a našla si veľa obdivovateľov aj odporcov. Jej hlavnou súčasťou je hranol s dvoma odrazenými plochami zvierajúcimi uhol 135°, ktoré pod pravým uhlom odrážajú svetlo divákovmu oku nad hranolom. Nie je jednoduché s ňou zaobchádzať. Pozorovateľ musí dôkladne umiestniť zornicu pomocou malej pozorovacej štrbiny tak, aby videl obraz a zároveň špičku tužky. Ako pomôcky tu slúžia najmä dve pomocné sklápacie šošovky umiestnené tak, aby mohli byť  natočené nad a pod hranol a riešiť problémy so zaostrovaním. (Príloha W3.1) Našlo sa veľa ľudí ktorý napriek faktom, že toto zariadenie bolo veľmi ľahko prenosné a fungovalo za akýchkoľvek svetelných podmienok, sa snažili vylepšiť. (Príloha W3.2)Napriek tomu, že camera lucida sa osvedčila v technických výkresoch, kopírovaní obrazov pre publikácie, kreslení obrázkov z pod mikroskopu či krajinomaľbe našli sa aj taký ktorý boli neschopný ju využívať. W.H. Foxe Talbote, nešikovný maliar a umelec dosiahol v chemickej fixácií premietnutého obrazu skvelý pokrok a teda objavil fotografiu. (Príloha W.4 )

Výhody používania camery lucidy sú v jej ľahkom zobrazení proporčne vyváženého obrazu skutočnosti. Dá sa používať pri rôznom osvetlení.

2.3 Dôkazy o používaní optiky:
Guľové zrkadlá boli prvýkrát zobrazené v dielach Jan Van Eycka a Roberta Campina (PrílohaX1-2) Vedeli o šošovkách a zrkadlách (pretože výrobcovia zrkadiel a maliari boli v rovnakom cechu) a istotne ich veľmi fascinovali, že dokážu malé vypuklé zrkadlá zobraziť celé postavy či miestnosti.
U Van Eycka môžeme použitie optiky pozorovať v jeho náčrte kardinála (Príloha X3), kde bolo použité silné svetlo (potrebné u camery obscury). Na základe tejto hoc rýchlej ale dôkladnej skice nakreslil obraz ktorý sa proporčne (pri takmer 90% zväčšení) zhoduje so skicou, až na malý detail že ucho, zadná časť hlavy, krku a goliera je posunutá o pár milimetrov doľava ( čo je spôsobené posunutím dosky alebo zrkadla počas prekresľovania)
Juan Sánchez Cotán - je možné namaľovať zeleninu ešte skôr ako zhnije? A je možné vytvoriť dva priam identické obrazy ( + v jednom sú primaľované rôzne vtáky) bez použitia optiky? (Príloha X4 )

Caravaggiov košík s ovocím- Na košík svieti silný svetelný bod zľava, pozadie bolo domaľované neskôr + nesedí so zdrojom svetla, ale obraz je i tak dokonale naturalistický. (Príloha X5) V neskoršom období pomáhala zobrazovať veľmi presne ľudské emócie, rôzne grimasy a pod. Model by nikdy nevydržal v danej polohe veľmi dlho a aj vďaka minimálnej pomoci zo strany optiky si maliar mohol naznačiť hlavné črty za pár sekúnd. Veď ako dlho by v takejto grimase vydržal Honhorstov smejúci sa muž (+ silné svetlo ako dôkaz camery obscury) (Príloha Y1) Caravaggio, Nemocný Bakchus- existujú dobové záznamy že k tvorbe tohto obrazu použil zrkadlá a techniku koláže ( zátišie v pravom dolnom rohu) (Príloha Y2) Annibale Carracci, Caravaggio, Frans Hals- Že by začali byť ľaváci v móde alebo umelci zabudli na to, že pracujú s odrazom skutočnosti? (Príloha Y3,Y4,Y5) Caravaggio používal silné svetlo, prehnaný naturalizmus a je ako filmový režisér (Príloha Y6)
Frans Hals- dokonalé skreslenie ruky a majstrovsky namaľovaná lebka. Nádherná maľba sa iba opiera o optiku (Príloha Y7)
Holbein- Je možné vytvoriť takéto skreslenie bez pomôcok? (Príloha Y8)

Nezrovnalosti:
Parmigianino- portrét mladej dámy, Chardin- Návrat z trhu (Príloha Z1, Z2)
Velázquez - Aristokrati nemali čas pózovať (obraz bol teda vytváraný kolážou), a to sa odzrkadľuje na proporciách tela (malá hlava) (Príloha Z3)
Froganord- dievča na hojdačke, Van Dyck- Janovská dáma (Príloha Z4, Z5)

3. ZLATÝ REZ
3.1 Úvod
Zlatý rez (angl.: golden section, golden proportion, golden ratio, golden mean,  lat:- sectio aurea – zlatý rez ,  sectio divina – božský rez , divina proportia- božská proporcia) je najznámejší proporčný vzťah. Fenomén zlatého rezu kráča históriou ľudstva ponad všetky storočia a kultúry. Geometrické tvary odvodené zo zlatého rezu sa v európskej kultúre považujú za esteticky veľmi príťažlivé a používali sa už v antike. V renesancii filozofovia a umelci pokladali za symbol krásy a dokonalosti také ľudské telo, v ktorom pás rozdeľuje výšku človeka v zlatom pomere. Zlatý rez ako kompozičný princíp sa v súčasnosti uplatňuje v rôznych oblastiach výtvarnej tvorby. V typografii a grafike je tento pomer veľmi častý – knihy majú tvar zlatého obdĺžnika,  písmená, ktorých pomer šírky a výšky je v zlatom pomere sa najlepšie čítajú, dôležité informácie a obrázky sú umiestnené v tzv. optickom strede, ktorý leží mimo geometrického stredu stránky. K zlatému rezu  sa prikláňa človek úplne intuitívne, cíti v ňom prirodzenosť, akýsi známy prvok, ktorý dielo poľudšťuje a dodáva mu harmóniu a vyváženosť.

3.2Pojem
·  Zlatý rez je pojem, ktorý sa používa vo viacerých významoch. Je to:
a) bod vo vnútri úsečky, ktorý ju rozdeľuje na dve nerovnaké časti,
b) metrický jav - proporčný vzťah medzi časťami úsečky, teda medzi dvoma rozmermi,
c) číselná hodnota proporčného vzťahu medzi časťami úsečky, tzv. zlatý pomer. Na jeho označenie sa používa grécke písmeno j .
Z hľadiska geometrie predstavuje konštrukcia zlatého rezu nájdenie takého bodu  vo vnútri ľubovoľnej úsečky , ktorý ju rozdeľuje na dve nerovnaké časti tak, že:
a)  pomer dĺžky väčšej časti k dĺžke menšej časti úsečky sa rovná pomeru dĺžky celej úsečky ku dĺžke jej väčšej časti
b)  alebo naopak – pomer dĺžky menšej časti k dĺžke väčšej časti úsečky sa rovná  pomeru dĺžky väčšej časti ku dĺžke celej úsečky.
Obe možnosti sú z matematického hľadiska ekvivalentné a číselné hodnoty týchto pomerov sú navzájom prevrátené čísla. Preto zlatý pomer tvorí dvojica navzájom prevrátených čísel. Určenie polohy bodu  vo vnútri úsečky  nás vedie ku kvadratickej rovnici. Jej korene môžu mať dvojaký význam:
a)  ak zvolíme ïABï = 1, potom korene vyjadrujú vzdialenosť bodu Z od jedného krajného bodu i zlatý pomer,
b)  ak zvolíme ïABï ¹ 1, potom korene rovnice  vyjadrujú len vzdialenosť.
 
Na výpočet hodnoty j zvolíme možnosť . Korene rovnice budú teda vyjadrovať vzdialenosť bodu C od jedného krajného bodu i zlatý pomer. Nastávajú dva prípady:

-  j  označuje dĺžku väčšej časti zlatého rezu úsečky
 
vyjadríme pomer dĺžok :  
upravíme na kvadratickú rovnicu: 
vypočítame korene rovnice:  
 
-  j  označuje dĺžku menšej časti zlatého rezu úsečky
 
vyjadríme pomer dĺžok : 
upravíme na kvadratickú rovnicu : 
vypočítame korene rovnice :
Výpočtom sme získali štyri iracionálne čísla. Nášmu zadaniu , , vyhovujú zrejme len hodnoty  , teda  a . Hodnotu  možno interpretovať tak, že bod C leží mimo úsečky AB.

3.3 Vlastnosti zlatých čísel
·  Koľko je zlatých čísel? Všetky zlaté čísla, o ktorých sme sa zmienili, možno napísať v tvare , kde  je „vhodné“ celé číslo. Najmenšie, o ktorom sme doposiaľ uvažovali, je , najväčšie je . Nevidíme však dôvod obmedzovať sa iba na tieto hodnoty. Zlatým číslom môžeme nazývať každé číslo tvaru , kde  a zlatým rezom zase každú usporiadanú trojicu kolineárnych bodov, ktorých deliaci pomer sa rovná niektorému zo zlatých čísel.
3.4 Fibonacciho postupnosť
Zlatý rez je po teoretickej i praktickej stránke veľmi úzko prepojený s postupnosťou čísel, ktorej objaviteľom bol taliansky matematik Fibonacci. V tejto postupnosti je každý člen sumou predchádzajúcich dvoch členov. Postupnosti vytvorené podľa rekurentného vzorca:

sa nazývajú Fibonacciho postupnosťami a ich členy sa nazývajú Fibonacciho čísla. Ak delíme niektoré z Fibonacciho čísel najbližším vyšším číslom, teda ďalším členom Fibonacciho postupnosti, dostávame postupnosť zlomkov:

 
Fibonacciho zlomky majú i blízko k zlatému rezu. Čím ďalej postupujeme v postupnosti týchto zlomkov, tým viac sa blížime k zlatému pomeru [6. Košík, P.: Fibonacciho čísla a zlatý rez]. Tento pomer sa so zväčšujúcimi členmi postupnosti blíži k inverznej hodnote φ, teda 0, 61803. Môžeme dokázať, že
 3.5 Zlaté geometrické tvary a štruktúry
V geometrii existuje niekoľko útvarov, ktoré nazývame zlaté. Názov je odvodený z faktu, že v sebe skrývajú zlatý pomer. 
 
3.5.1 Zlatý uhol je pojem, ktorý sa používa v súvislosti s rozdelením uhla 360o na dva uhly tak, že ich veľkosti sú v zlatom pomere. Výpočet veľkostí týchto uhlov je založený na rovnakom princípe ako  pri delení úsečky:
 ,  alebo inak  ,    alebo
po úprave dostaneme  rovnicu
z toho vypočítame veľkosť menšieho uhla  
väčší uhol má veľkosť
Tieto uhly môžeme ďalej rozdeľovať v zlatom  pomere:
-  uhol  sa rozpadne na uhly a   
-  uhol  sa rozpadne na uhly  a 
-  uhol   sa rozpadne na uhly  a   (Príloha E0)
 
3.5.2  Zlatá  špirála. Logaritmická špirála sa často nazýva aj zlatá špirála, pretože môže v sebe skrývať zlatý pomer. (Príloha E2)

3.5.3  Zlatý trojuholník.   
1. typ –  pomer dĺžky ramien ku dĺžke základne je j2 = 1,618…. V tomto trojuholníku   majú uhly pri základni veľkosť  a uhol pri hlavnom vrchole má veľkosť .   V literatúre sa uvádza najčastejšie práve tento trojuholník ako zlatý.  (Príloha H)
2. typ –  pomer dĺžky ramien ku dĺžke základne je  j1 = 0,618…. V tomto trojuholníku sa uhly pri základni rovnajú  a uhol pri hlavnom vrchole má veľkosť . Tento trojuholník nesie aj názov zlatý trojuholníkový gnómon. (Príloha H1)
  3. typ  –  pomer dĺžky ramien ku dĺžke základne je  j3 = 2,618…. V tomto trojuholníku   majú uhly pri základni veľkosť  a veľkosť uhla pri hlavnom vrchole je . V literatúre sa tento typ trojuholníka nespomína.  

3.5.4  Zlatý obdĺžnik. Zlatý pomer má štyri číselné vyjadrenia, pričom väčšie z nich sú   prevrátenými hodnotami menších z nich a preto rozoznávame dva základné typy   obdĺžnikov s uvedenými pomermi dĺžok strán:
  1. typ zlatého obdĺžnika má pomer strán: j2 = 1,618… 
    2. typ zlatého obdĺžnika má pomer strán:  j3 = 2,618… .
Štvorec je gnómon zlatého obdĺžnika, to znamená, že keď k nemu pridáme alebo odoberieme zlatý obdĺžnik, dostaneme opäť zlatý obdĺžnik (Príloha H2)
 Vo výtvarnej i architektonickej tvorbe sa najčastejšie vyskytuje zlatý obdĺžnik 1. typu, ale stretneme sa i s 2. typom. Optické stredy, do ktorých sa umiestňuje hlavný motív diela, získame delením obdĺžnika v zlatom pomere. Na nasledujúcom obrázku je niekoľko možností zostrojenia optických stredov. (Príloha H3)

3.5.5  Zlaté štvoruholníky vznikajú skladaním zlatých trojuholníkov. (Príloha H5)

3.5.6  Zlatý päťuholník je pravidelný päťuholník, v ktorom sa pomer dĺžky uhlopriečky ku dĺžke strany rovná zlatému rezu. Dá sa poskladať a zostrojiť zo zlatých trojuholníkov. Koeficient podobnosti medzi vonkajším a vnútorným päťuholníkom, ktorý je ohraničený uhlopriečkami, sa rovná (1,618…)2 = 2,618… . Aj do päťuholníka sa dá vpísať špirála.  (Príloha H6)

3.5.7  Zlaté fraktály.Každá z opísaných zlatých štruktúr je v istom zmysle nekonečná, pretože vzniká nekonečným opakovaním tej istej geometrickej konštrukcie. (Príloha H7)

3.6 Výskyt
3.6.1Umenie a architektúra
Zlaté geometrické útvary poznali už aj v antike a možno ich nájsť napr. už na stavbe chrámu Parthenón na Akropole. Je to typický dórský chrám s ôsmimi stĺpmi vpredu aj vzadu. Do jeho priečelia i do pôdorysu je možné nakresliť časť pravidelného desať uholníka, ktorý je zložený z desiatich zlatých trojuholníkov. V pôdoryse možno nájsť zlatý obdĺžnik 1. a 2. typu. (Príloha H8)
Zlatý rez sa uplatňuje v mnohých maliarskych kompozíciách najrôznejších období. V Holandsku ho uviedol do života  Jan Vermeer, v modernom umení zlatý rez s obľubou využíval napríklad Piet Mondrian alebo  Pablo Picasso. Mona Lisa, Da Vinciho najslávnejší obraz, je dôkazom využívania zlatého pomeru týmto slávnym umelcom (Príloha F.1). Zlatý rez môžeme nájsť aj na obraze Posledná večera, ktorý je taký pôsobivý práve preto, že postavy na ňom sú rozdelené bielym obrusom podľa zlatého rezu. (Príloha F.2). Zlatý rez využíval aj Salvador Dali, príkladom je obraz Posledná večera (Príloha F.3) Vyznávači zlatého rezu hľadali oporu v rôznych architektonických slohoch (11). Zlatý pomer nájdeme v Cheopsovej pyramíde (Príloha G.1), v gréckom Panteóne (Príloha G.2) alebo v Notre Dame v Paríži (Príloha G.3). Poctou zlatému rezu sú aj budovy ako Tádž Mahál v Agre (Príloha G.4), budova OSN v New Yorku (Príloha G.5), CN Tower v Toronte (Príloha G.6).

3.6.2 Zlatý rez a človek
Najmä v období renesancie sa pestovala mienka, že najkrajšie sú útvary, v ktorých možno nájsť zlatý rez, to platilo aj pre ľudské telo. Zlatý rez našli v pomere dĺžok nad pásom a pod pásom (Príloha D.1). A tieto časti tela môžeme znovu rozdeliť v pomere 1 : 0,618. Nájdeme ďalšie dve hranice, zúženia na ľudskom tele: krk a noha tesne pod kolenom. Môžeme pokračovať kolenom a lakťom, kĺbmi, ktoré rozdeľujú prst na články (Príloha D.2) Zlatý rez sa však nachádza aj na jednotlivých častiach tváre – ucho alebo zuby(Príloha E.3)

je na milimeter totožný. A naviac platí pre akéhosi „obojpohlavného“ človeka, pretože je priemerom hodnôt nameraných u žien i u mužov. V skutočnosti je hodnota 0,618 u mužov trochu menšia a u žien väčšia. Dievčatá by mali mať dlhšie nohy a chlapci v pomere k svojej výške viac vyvinutú hornú hrudnú časť. Stupeň krásy určitej postavy je v tom, ako sa jej proporcie priblížili k priemerným, resp. normálnym proporciám. Indivíduí s priemernými proporciami je však pomerne málo a u väčšiny ľudí kolísajú okolo tohto priemeru. Priemerné proporcie sú teda základom, od ktorého umelec musí vychádzať. Pokiaľ si konštruuje alebo používa kánon (vzorové rozmery), musí si uvedomiť, že ide len o jednoduché pravidlo, resp. pomôcku, že vyjadruje hodnoty iba blízke priemeru, a že i dobrý kánon sa nehodí na všetky prípady, zvlášť extrémne. Človek ako súčasť prírody má rovnako ako ostatné formy evolúcie, prvky s podobnými štruktúrami. V anatómii ľudského tela, ale aj v životných cykloch (tlkot srdca,...) sa dajú nájsť harmonické proporcie zlatého rezu a zlatého čísla.

3.6.3 Zlatý rez v prírode
Nielen matematika je oblasťou, v ktorej má pojem zlatého rezu svoje miesto a praktické využitie. Tento koeficient formuje matematické proporcie prírody, ktoré sama využíva, aby vytvorila listy, mušle, hmyz, ľudí, hurikány a galaxie ... Podľa zlatého pomeru sú rozdelené telá živočíchov, časti rastlín, možno ho nájsť i v najmenších živých štruktúrach, dokonca i v kardiografii. (Príloha E1) Zlatý pomer bol nájdený aj v prstencoch planéty Saturn  (Príloha J1)
Pomer veľkostí postupne rastúcich semien slnečnice, susedných listov na hlave kapusty, zdrevnatených lupienkov šišiek ihličnatých stromov, dvoch susedných komôrok ulít niektorých mäkkýšov a mnoho ďalších objektov sa rovná pomeru susedných členov Fibonacciho postupnosti, teda približne zlatému rezu. Kryštalizácie boru v pravidelných dvadsaťstenoch a existencie vírusu detskej obrny v tvare pravidelného dvadsaťstena. Rast neživých častí živého tvora, napr. zobáky, zuby (Narval), rohy (africký kudu), parohy alebo schránky mäkkýšov (), vyjadruje logaritmická špirála. Nemení tvar, rastie rovnako do dĺžky i do šírky. Je to jediná krivka, ktorá rastie tak, že zachováva tvar a pomer častí. Aj štruktúra molekuly DNA (Príloha J) je založená na uplatnení zlatého rezu. Rozmery jedného úseku DNA sú 34 po dĺžke a 21 po šírke pre každý plný cyklus dvojitej špirály. 34 a 21 sú čísla Fibonacciho postupnosti a ich pomer je 1.6190476, teda približujúci sa k φ, 1.6180339.