Matematické biliardy

Prírodné vedy » Matematika

Autor: Dievča milena (24)
Typ práce: Referát
Dátum: 30.03.2014
Jazyk: Slovenčina
Rozsah: 1 681 slov
Počet zobrazení: 2 393
Tlačení: 287
Uložení: 314
Matematické biliardy
 
1 Úvod
Ako námet pre našu projektovú prácu sme si vybrali matematické biliardy nakoľko navštevujeme matematickú triedu na tejto škole, matematika s deskriptívnou geometriou nás bavia a po vzhliadnutí prezentácie prof. RNDr. Ľubomíra Snohu DSc. DrSc. na sústredení v Krpáčove sa nám práve táto téma zapáčila. Behom našej práce Vás chceme oboznámiť s rôznymi situáciami a ich riešením v bežných i neštandartných tvaroch biliardov, pričom riešenie odvodíme aj z matematického i geometrického hľadiska.

Medzi naše záľuby patrí aj hranie biliardu a práve pri jeho hraní sme sa začali zaoberať rôznymi možnosťami odrazov a herných situácií. Avšak v bežnom živote nemôžme tieto situácie riešiť štandartnými matematickými postupmi, pretože nesmieme zanedbať fyzikálne vlastnosti stola a loptičiek, či fyzikálne veličiny, ktoré na ne pôsobia. A preto sa v našej práci, ktorá nás tak zaujala, budeme zaoberať s čisto matematickým uhlom pohľadu na dané situácie. V našom matematickom svete biliardov nepoužívame len klasický obdĺžnikovitý tvar biliardu, naopak je mnoho tvarov ktorými sa dá zaoberať (napr. trojuholník, kružnica, elipsa, či v priestore kocka, ihlan alebo guľa), niektorých až priveľmi bizardných, a preto príklady môžu byť niekedy zaujímavejšie a náročnejšie.

Okrem iného Vám chceme v našej práci priblížiť aj pár poznatkov z histórie matematických biliardov, pretože bez všetkých tých dôležitých osobností, ktoré sa zaujímali matematickými biliardmi by sa nevyvinul tak zaujímavý matematický smer a dnes by sme nemohli pracovať na tejto téme, ktorá nás tak fascinovala.

2 Teoretické východiská
Hlavným cieľom tejto práce, je priblížiť čitateľovi smer a vývin biliardov a matematických biliardov plus ich praktické využitie. V našej práci Vám uvedieme iba vybrané tvary biliardov t.j. obdĺžnik, kruh, kocka a špeciálny Bunimovichov tvar.

2.1 Matematické biliardy
Skôr ako sa budeme zaoberať samotnou teóriou, nahliadneme aj do histórie hry pre lepšie pochopenie daného matematického smeru a jeho vývoja v priebehu rokov.
 
2.1.1 História biliardov
Biliard pravdepodobne pochádza z Číny(niektoré pramene hovoria, že z Číny a Indie) z obdobia pred naším letopočtom. Odtiaľ prešiel do Európy. Zmienka o ňom je aj v anglických letopisoch zo 6. storočia. Túto hru hrávali králi ako aj prostí občania, prezidenti, dámy ako aj džentlmeni. V Európe sa vyvinula sa z trávovej hry kriket hranej v 15. storočí v severnej Európe a pravdepodobne vo Francúzsku. Francúzsky kráľ Karol IX. počas Bartolomejskej noci 24. augusta 1572 hral biliard (katolíci vraždili hugenotov). Hra bola hraná na drevených stoloch pokrytých zeleným plátnom pripomínajúcim trávu. Gule boli udierané drevenými palicami nazývanými "maces" čo znamená žezlo. Termín biliard je odvodený z francúzskeho slova "billiart", jednej z drevených palíc alebo od "bille" čo znamená guľa. Spočiatku bola hraná s dvoma guľami na stole so šiestimi dierami s bránkami podobne ako v krikete. Počas 18. storočia bránky postupne vymizli a zostali len diery a gule. V roku 1600, bola hra dostatočne známa, aby sa objavila v Shakespearovej hre António a Kleopatra. O 75 rokov neskôr bola vydaná prvá kniha s pravidlami.
Biliardy boli a sú rôzne. Pre nás je najznámejší americký biliard. Hrá sa s jednou čiernou, jednou bielou, siedmimi pruhovanými a siedmimi plnými farebnými guľami. Rozmer stola je podstatne menší ako pri anglickom biliarde. Anglický biliard je v dnešnej dobe známi ako Snooker, ktorý je hraný s 22 guľami namiesto pôvodných troch. Snooker sa hrá na stole s pätnástimi červenými, jednou žltou, zelenou, hnedou, modrou, ružovou, čiernou a bielou guľou. Na francúzsky biliard „karmbol“ okrem stola a tága dlhého asi 1,3m sú potrebné ešte 3 gule (biela, biela s čiernou bodkou a červená). S týmto musí hráč zahrať čo najviac karambolov, teda dotknúť sa jednou guľou ostatných dvoch. Existujú rôzne modifikácie tejto hry (voľná hra, mantinelová hra s odrazom od 1,resp. od 3 mantinelov, umelecký biliard atď.).
Podobne ako hazardné hry, ktoré viedli k základom Teórie pravdepodobnosti, biliard sa stal predmetom skúmania vedcov v oblasti mechaniky a matematiky.
 
Mechanika:
V roku 1835 francúzsky fyzik Cuiolis (rok predtým ako sa stal akademikom Parížskej akadémie vied) napísal knihu, v ktorej opísal pohyb biliardovej gule(z fyzikálneho hľadiska, skúmal aj trenie a krivočiare pohyby z dôvodu, že neudrieme smerom na stred gule ale zvrchu alebo zboku tak, že guľa začne aj rotovať).
 
Matematika:
Skúmajú sa „matematické biliardy“, zanedbáva sa trenie, rozmery gule, valivý odpor, odpor vzduchu a iné fyzikálne vplyvy prostredia. Guľu považujeme za hmotný bod a hernú plochu si môžeme zvoliť podľa vlastného uváženia. Dnes sú matematické biliardy zaradené do dynamických systémov a ergodickej teórie. Medzi najväčšie osobnosti tohto matematického smeru patria Sergej Tabašnikov, L. D. Pustyľnikov alebo L. A. Bunimovič.
 
2.1.2 Obdĺžnikové biliardy
 
2.1.2.1 Teória pohybu a odrazov v biliardoch
  Pre hraciu plochu matematického biliardu platí, že je úplne rovná, bez akýchkoľvek prekážok. Nie sú tu prítomné diery. Pri odraze gule od mantinelu sa kinetická energia gule nezmení a zároveň platí, že uhol dopadu sa rovná uhlu odrazu. Čiže ak sa chceme dostať z bodu A do bodu B používame na to základný systém prenášania cez kolmice. Ukážeme si to na známej školskej úlohe, ktorú pozná skoro každý študent. Janko má koňa a stojí v bode A. Chce sa dostať do bodu B(obchod), pričom sa kôň musí napiť z rieky. Aká je najkratšia vzdialenosť, ktorú môže Janko s koňom prejsť? Riešenie bude nasledovné. Prenesieme si bod B osovou súmernosťou do bodu B´(pričom dostaneme bod K) a následne spojíme bod A s bodom B´. Dostaneme bod X(priesečník úsečky AB´ a osi podľa, ktorej sme bod B prenášali). Spojíme bod X s bodom B a dostávame najkratšiu vzdialenosť, ktorú musí Janko prejsť(trajektória A->X->B). Ďalej si všimneme, že uhly α a α´ sú vrcholové uhly, čo znamená, že majú rovnakú veľkosť. Trojuholník B´XK a trojuholník BXK sú zhodné podľa vety sus, pretože strana XK je spoločná strana a |BK| = |B´K|, pričom uhol B´KX je rovnaký ako uhol BKX. Týmto sme dokázali, že uhol α je zároveň uhlom BXK, čím sme dokázali, že uhol dopadu sa rovná uhlu odrazu.
    Uvažujme o väčšom počte odrazov. Použijeme rovnaký princíp prenášania po kolmici a použijeme ho toľkokrát, koľko odrazov chceme „zahrať“. Hraciu plochu si nakreslíme v sieti viacerých rovnakých biliardov. Pričom bod, do ktorého sa chceme dostať, je voči ostatným biliardom zrkadlovo otočený(viď obr.1 v prílohe). Nakreslíme spojnicu AB´ (spojnica AB´ musí pretínať strany siete biliardov presne toľkokrát, koľko odrazov chceme zahrať) a postupne túto priamku prenášame cez hrany biliardov až do nášho pôvodného biliardu. Dostaneme tak trajektóriu, po ktorej musíme guľu poslať s daným počtom odrazov.
 
2.1.3 Kruhové biliardy
Pre odraz gule v tomto biliarde platí to isté pravidlo ako pri obdĺžnikovom, že uhol dopadu a uhol odrazu sa rovnajú, ale tieto uhly môžeme vidieť medzi trajektóriami dopadu a odrazu a dotyčnicou ku kruhu v mieste odrazu. Avšak po druhom odraze sa dostaneme do ďalšieho bodu, ku ktorému budeme viesť druhú dotyčnicu. Pokiaľ nie sú tieto dotyčnice rovnobežné, bude existovať ich priesečník P. Potom trojuholník BCP je rovnoramenný (podľa mocnosti bodu ku kružnici) teda aj uhly PBC a BCP sú rovnaké. Teda guľa sa bude odrážať vždy pod rovnakým uhlom. Ako dôsledok tohto tvrdenia vieme, že všetky trajektórie odrazov(tetivy) budú rovnako vzdialené od stredu kružnice. Túto vzdialenosť môžeme použiť ako polomer menšej kružnice t (kružnica trajektórie), ktorú spomenieme neskôr.

Rozoznávame dva základné druhy trajektórií. Prvý prípad nastane, keď sa po obídení celého kruhu odrazmi dostaneme do rovnakého bodu, ako do toho, z ktorého sme vyrážali. Tento prípad nazývame periodický. Trajektória takýchto odrazov nám vytvorí pravidelný n-uholník(kde n je počet odrazov v jednej perióde),alebo hviezdu (s počtom cípov n). Druhý prípad nastane, keď sa odrazmi po jednej „perióde“ nedostaneme do toho istého miesta, ale do iného bodu, ďalej po kružnici. V tomto prípade bude trajektória nekonečná krivka. Táto krivka bude od stredu ohraničená vyššie spomínanou kružnicou t a táto kružnica nám spolu s plochou biliardu ohraničí medzikružie, ktoré nám krivka(trajektórie) nahusto pobehá. Na nasledujúcich riadkoch si toto tvrdenie dokážeme. Nech sú body odrazu postupne body A,A1,A2,A3,...An. Potom vzdialenosť medzi A a A1 (A1,A2 ... An) nech je a. Ak sa po jednej celej perióde(jednom obehu) nedostane gulička  späť do bodu A príde do bodu An , ktorého vzdialenosť od A je b. V prípade, že táto vzdialenosť je vačšia ako , tak uvažujeme o bode An+1 , ktorý považujeme za konečný bod periódy. Z toho vyplýva, že vzdialenosť |A,An| (resp. An+1) je . Čiže nám odrazy pobehajú kružnicu nielen s krokom a ale dokonca aj s krokom . Analogicky, ak ju pobehá s krokom b, musí ju pobehať aj s krokom . Takto sa to bude opakovať do nekonečna, pričom kroky budú vždy o polovicu menšie. Čo znamená, že sa nikdy znova nedostaneme do počiatočného bodu A, len sa k nemu budeme stále viac približovať. Týmto postupom nám pobehajú odrazy celú kružnicu nahusto a vytvoria spomínané medzikružie.

2.1.4 Chaos v biliarde
Existujú aj rôzne iné, špeciálne typy biliardov. Napríklad tzv. Bunimovichov biliard. Ide o biliard v tvare akéhosi „futbalového štadióna“, ktorý vznikne spojením obdĺžnika s dvoma polkružnicami na koncoch menších strán. V tomto biliarde sa dá vhodne ukázať chaos, ktorý vzniká nerovnomerným zakrivením mantinelov hracej plochy. Chaos nastáva v dôsledku meniacich sa uhlov odrazov(kružnica, priamka). Ďalej tu nastáva zaujímavá situácia, ktorú si môžeme ukázať na konkrétnom príklade. Ak pustíme dve loptičky rovnakým smerom, ale s odchýlením napríklad menej ako 0,5% výšky štadióna po istom počte odrazov sa stane, že loptičky budú mať nielen iné body dopadov ale aj rôzny smer pohybu. Teda pôjdu „proti sebe“. Neuvažujeme možnosť zrážky týchto dvoch gúľ. Takéto situácie chaosu  nastávajú napríklad aj v elipse, kosodĺžniku... .

Ešte môže nastať iný druh chaosu, ktorý môžeme pozorovať dokonca aj pri obdĺžnikovom alebo hocijakom hranatom biliarde (trojuholník, štvorec, kosoštvorec, hviezda...). Ide o špeciálny prípad, keď guľôčka narazí do rohu, v takomto prípade nevieme rozumne definovať, či sa guľôčka odrazí doľava, doprava alebo naspäť.
 
2.1.5 Priestorové biliardy
Môžeme uvažovať nad základnými typmi ako sú kocka, kváder, ihlan, guľa, valec či kužeľ. Rozoberieme si aspoň jeden typ biliardu. Napríklad kocka. V kocke používame rovnaké princípy ako sme použili pri obdĺžniku, s tým rozdielom, že si urobíme sieť kociek a prenesieme bod B pomocou rovín. Následne použijeme rovnaký princíp prenášania trajektórie naspäť do pôvodnej kocky. Avšak na prenášanie nepoužívame priamku ale rovinu.

3 Záver
V tejto práci sme chceli poukázať na to, že aj matematické biliardy majú praktické využitie pri riešení herných situácií v reálnom živote, napriek tomu, že nemôžme zanedbať fyzikálne vlastnosti. Situácií a tvarov biliardov je mnoho preto sme Vám priblížili aspoň zopár z nich. Ukázali sme si spôsob výpočtu trajektórie pomocou uhlov, dotyčníc a súmerností. Podľa nás je táto sféra matematických biliardov zaujímavým smerom, ktorý sa neustále rozvíja, pretože pri tejto práci musíme riešiť situácie, ktoré nie sú vždy rovnaké a niekedy môžu byť riešenia zaujímavejšie no aj náročnejšie. Zároveň dúfame, že sa Vám naša práca zapáčila, pretože sme sa snažili využiť všetky naše vedomosti a dostupné poznatky pre tvorbu tohto projektu.
Oboduj prácu: 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 (10-najlepšie, priemer: 10)

:: Prihlásenie



Založiť nové konto Pridať nový referát

Odporúčame

Prírodné vedy » Matematika

:: KATEGÓRIE - Referáty, ťaháky, maturita:

0.009