Archimedes

Archimedes
 
1 Úvod
Prečo som si vybral práve Archimeda? Vždy ma veľmi zaujímala matematika a fyzika a tak som sa chcel o jeho objavoch a vynálezoch dozvedieť viac. Bol to naozajstný génius, ktorý považoval celý svet za čistú matematiku. 
Výsledky vedy čoraz väčšmi zasahujú do všetkých sfér nášho života.  Vedecké poznanie je však nesmierne zložitý proces dozrievania problému, úporného hľadania, tápania i omylov a nakoniec prekvapujúco jednoduchého rozuzlenia. Snažil som sa čitateľa vtiahnuť do procesov fyziky a priblížiť mu neľahký život a spôsob myslenia nadaného vedca. Archimedove objavy sa týkajú matematiky, fyziky a mnohé z nich boli využité na vojenské účely.
Ťažké časy rímskej expanzie nedali oddýchnuť nikomu. Avšak tak, ako za jeho života, aj v dnešnej dobe si ľudská činnosť a najmä tvorivá práca vyžaduje zanietenosť, nadšenie a obrovskú húževnatosť. Tak, ako Archimedes ešte pred smrťou požiadal nepriateľského vojaka, aby mu dal čas na doriešenie matematickej úlohy a povedal mu: „Nedotýkaj sa mojich kruhov“.
Snažil som sa vám priblížiť Archimeda ako vedca aj ako obyčajného človeka. Dúfam, že Vás jeho životný príbeh zaujme.

2 Archimedes
2.1 život
Archimedes zo Syrakúz sa narodil roku 287 pred n.l. v sicílskom prístavnom meste Syrakúzy (Sicília). Dátum jeho narodenia odhadol byzantský letopisec Jan Tzetzov, podľa ktorého sa Archimedes dožil 75 rokov. Vo svojej dobe bol známy ako najlepší matematik, taktiež bol uznávaný fyzik, inžinier, vynálezca a astronóm. Dodnes  je považovaný za jedného z najvýznamnejších vedcov klasického staroveku a jedného z najväčších matematikov vôbec.
Pochádzal zo vzdelanej rodiny, Archimedovým otcom bol údajne astronóm menom Feidias (Phedia). Archimedes dlhší čas pobudol vo vtedajšom centre Egyptu v Alexandrijskej Museione, kde študoval matematiku, spoznal tam Euklida, Eratostena z Kyrény či Konona zo Samu. Po návrate domov zasvätil svoj život matematike, mechanike, objavom rôznych konštrukcií a ich využitiu v praxi. Archimedes ako prvý vypočítal obvod kruhu, obsah kruhu, a jeho výsekov, pomocou polomeru a zistil takmer presnú hodnotu pomeru obvodu kruhu k jeho priemeru čo dnes poznáme pod pojmom Ludolfovo číslo (π).Vypočítal tiež obsah úseku paraboly cez nekonečný geometrický rad pravidelných plôch, ktorými výsek vyplnil čím založil základnú myšlienku integrálneho počtu. Zistil aj povrch a objem gule povrch a objem elipsoidu a úsekov rotačného elipsoidu, hyperboloidu a paraboloidu. Určil ťažisko trojuholníka, obdĺžnika, lichobežníka a rozličných častí paraboly a teoreticky dokázal niektoré všeobecné poučky  o ťažiskách rovinných útvarov. Z objavov Archimeda sú najdôležitejšie tie, ktoré dnes zaraďujeme do oblasti integrálneho počtu, sú to vety súvisiace s obsahom rovinných útvarov a objemom telies. Vo svojej práci „O meraní kruhu“ sa priblížil k obsahu kruhu pomocou mnohouholníkov vpísaných a opísaných kruhu. Svoje priblíženie sa k obvodu kruhu dosiahol pomocou 96 uholníka a dosiahol pre π presnosť 22/7 . V jeho diele „O guli a valci“, nachádzame vzorec pre výpočet povrchu a objemu gule pomerne s veľkou presnosťou. Tiež Definícia špirály nesúcej jeho meno a vzorce na výpočet objemov telies boli na vtedajšiu dobu prevratné. Medzi jeho významnejšie práce ešte patrí: „Výpočet obsahu paraboly“, „O skrutkovniciach“, „O kúželosečkách a guľových výsekoch“. V spomínaných dielach Archimeda sa odráža prekvapujúco originálny spôsob myslenia autora, majstrovská numerická technika a prísny spôsob dokazovania. Archimedes taktiež  nemalou mierou prispel k rozvoju fyziky. Vybudoval základy statiky (mechanická rovnováha, vysvetlenie princípu páky) a hydrostatiky (Archimedov zákon), ktoré ani po vyše dvoch tisícročiach nestratili na význame. Navrhol a zostrojil množstvo vynálezov slúžiacich pre potreby jeho rodného mesta Syrakúzy, vrátane vodného špirálového čerpadla, dnes známeho ako šnekový dopravník, ktorým bola vybavená najväčšia loď stredoveku Syrakúzia. Niektoré legendárne obranné stroje, ktoré Archimedes vynašiel, boli v modernej dobe zrekonštruované a ukázalo sa, že mohli byť naozaj funkčné. V službách kráľa Hieróna pôsobil Archimedes ako staviteľ vojnových strojov. Nezaujímal sa však o praktické využitie svojich strojov ani o vojnu, zaujímal sa o ich technické riešenie.
 
2.2 Smrť
Archimedes zomiera počas 2. púnskej vojny roku 212. pred n.l. v Syrakúzach. Keď Syrakúzy počas druhej púnskej vojny obliehali Rimania, jeho vojnové stroje, naháňali Rimanom hrôzu. Marcus Claudius Marcellus nakoniec po dvojročnom obliehaní mesto dobyl a  Archimedes bol Rimanmi zabitý. Existuje však viacero verzií, ktoré sa líšia len veľmi málo. Plutarchos ponúka dve verzie: podľa jednej, rímsky legionár rozkázal Archimedovi ísť za generálom Marcellom, ale Archimedes odmietol odísť skôr, ako vyrieši svoj matematický problém. To vojaka rozzúrilo a Archimeda svojim mečom prebodol. Druhá verzia hovorí, že vojak k Archimedovi pristúpil s úmyslom zabiť ho, ale ten ho požiadal, aby ešte počkal, kým vyrieši svoju matematickú úlohu. Vojak ale neposlúchol a zabil ho. Ďalšia verzia  Podľa Valeria Maxima hovorí, že sa Archimedes obrátil na vojaka so slovami: "Noli tangere circulos meos" čo v preklade znamená „Nedotýkaj sa mojich kruhov“, vojak ale Archimeda prebodol, bez toho aby vedel, o koho sa jedná. Ďalšou možnou verziou je, že sa Archimedes chcel vzdať a odísť k Marcellovi, ale vojaci ho zabili, keď si mysleli, že má vo svojej skrinke, nesúcej k Marcellovi, cennosti. Marcellus bol správou o Archimedovej smrti zničený, považoval ho za cenného a vopred nariadil, aby  mu neublížili. Podľa Cassia Dion, citovaného Janom Tzetzom, bol Archimedes pochovaný Marcellom v rodinnej hrobke a na pohrebe sa zúčastnili významní Syrakúzania a Rimania. Rímsky rečník Cicero popisuje Archimedov pomník ako stĺp, na ktorého vrchole je zobrazený valec s vpísanou guľou; podľa Plutarcha si to prial sám Archimedes.  Keď v roku 75 pred n. l. slúžil Cicero na Sicílii ako kvestor, v starovekom Ríme správca štátnej pokladne, zo zvedavosti začal pátrať po Archimedovej hrobke, ktorú po niekoľkých pokusoch objavil v blízkosti Agrigentskej brány v Syrakúzach,  zanedbanú a zarastenú krovím. Cicero nechal hrobku a jej okolie vyčistiť a zreštaurovať. Cicerov popis hrobky je jej najstarší popis autora, ktorý ju videl na vlastné oči.

3. Objavy a Vynálezy
Archimedes uskutočnil mnoho objavov v matematike a fyzike. Zatiaľ čo jeho rýdzo teoretické objavy boli známe len úzkemu kruhu odborníkov, všeobecnú pozornosť budil svojimi užitočnými technickými vynálezmi. Archimedovi sa pripisuje okolo 40 vynálezov. Je po ňom nazvaný napr. kladkostroj alebo vodné špirálové čerpadlo. Preslávil sa aj svojou konštrukciou planetária, ktoré bolo poháňané tlakom vody. Jeho objavy prežili až dodnes, aj keď mnohé z jeho kníh sa stratili. Archimedes zrejme veľa neexperimentoval, skôr sa oddával teoretickému mysleniu.
 
3.1 Fyzika
Archimedes skúmal zákonitosti mechanickej rovnováhy a položil tak základy statiky pevných telies. Pod Euklidovým vplyvom sa snažil o vytvorenie axióm (veci ktoré všeobecne platia) v tejto oblasti. Definoval niekoľko dôležitých pojmov, ako napr. moment sily alebo  ťažisko ako bod, v ktorom stačí teleso upevniť, aby zostalo v rovnováhe v akejkoľvek polohe. Zaoberal sa princípmi činnosti jednoduchých strojov - páky, kladky, naklonenej roviny, klinu a ozubeného kolesa, a zároveň objavil a formuloval zákonitosti ich rovnováhy. Archimedes sa považuje aj za zakladateľa hydrostatiky. Skúmal zákonitosti plávania telies a hydrostatického vztlaku. Uvedomoval si nestlačiteľnosť vody a dokázal ju pravdepodobne využiť pri zisťovaní objemu nepravidelných telies. Pochopil význam pojmu hustota, presne ho formuloval a pravdepodobne našiel metódu jej merania dvojitým vážením (Čím vyššiu hustotu má teleso, tým väčšiu hmotnosť má v pomere k objemu). Formuloval Archimedov zákon. Vo svojom diele „O plávajúcich telesách“ tiež skúmal stabilitu plávania, najmä plávania ponoreného paraboloidu, ktorý považoval za idealizáciu lodného trupu.

3.1.1 Zlatá koruna
Jeho objavy týkajúce sa hustoty a vztlaku sú tradované i v anekdote o zlatej korune syrakúzského kráľa. Podľa Vitruvia si nechal kráľ Hierón II. zhotoviť novú zlatú korunu v tvare vavrínového venca a požiadal Archimeda, aby zistil, či je vyrobená z rýdzeho zlata, a či nepoctivý zlatník nepridal do nej menej ušľachtilé kovy. Archimedes musel vyriešiť problém bez poškodenia koruny, takže ju nemohol pretaviť do pravidelného geometrického tvaru, aby mohol vypočítať objem. Z hmotnosti by mohol určiť jeho hustotu a porovnať s hustotou zlata. Riešenie ho vraj napadlo pri kúpeli, keď si všimol, že hladina stúpla, keď sa ponoril do vody. Uvedomil si, že môže využiť nestlačiteľnosť vody. Ak ponorí korunu do nádoby naplnenej vodou po okraj, vytlačený objem vody sa bude rovnať objemu koruny. Podľa legendy vyskočil z kúpeľa, úplne nahý pobiehal syrakuzskými ulicami a volal "Heuréka" (čo po grécky znamená "Našiel som!"). Potom zistil, že koruna bola vyrobená prevažne z obyčajného kovu. To stálo zlatníka život. Príbeh o zlatej korune sa nenachádza v žiadnom z dochovaných Archimedových diel. Navyše uskutočniteľnosť opísanej metódy je spochybňovaná, vzhľadom na to, že by si vyžadovala  extrémnu presnosť merania objemu vytlačenej vody. Špekuluje sa, že Archimedes mohol použiť iné riešenie, založené na Archimedovom zákone. Podľa neho je teleso ponorené do kvapaliny nadľahčované silou rovnou hmotnosti kvapaliny telesom vytlačenej. Mohol teda napríklad na vzduchu vyvážiť na pákových váhach korunu rýdzim zlatom a ponoriť korunu aj zlaté závažia do vody. Keby koruna mala menšiu hustotu, mala by väčší objem a bola by viac nadľahčovaná. Takáto metóda by už bola dostatočne citlivá. Už Galileo Galilei považoval za pravdepodobnejšie, že práve túto metódu Archimedes použil, pretože okrem jej veľkej presnosti je navyše založená na zákone objavenom a popísanom práve Archimedom. Existuje ešte jedna metóda , ktorou mohol zistiť či je koruna z rýdzeho zlata a tou je, že najprv vyvážil korunu zlatom, potom striebrom a osobitne dal vyvážené zlato do nádoby s vodou kde pozoroval o koľko stúpla voda, následne ponoril do vody striebro a tiež odmeral o koľko stúpla voda. Nakoniec ponoril do vody korunu a zistil že voda je vyššie ako bola keď sa do vody ponorilo zlato z čoho vyplýva, že koruna mala prímes striebra.
 
3.1.2 Zapaľovanie lodí
V 2. storočí sýrsky spisovateľ Lucianos napísal, že pri obliehaní Syrakúz (asi 214-212 pred n.l.) Archimedes zapaľoval nepriateľské lode na diaľku. Z neskoršej doby sa zachovalo Anthémiovo tvrdenie, že na to
použil zrkadlá. O funkčnosti tejto zbrane sa diskutovalo už v časoch renesancie. Matematik René Descartes vtedy označil tvrdenia za nepravdivé. Moderní vedci zrekonštruovali pokus len za pomoci prostriedkov, ktoré Archimedes mohol mať v tej dobe k dispozícii. Došli k názoru, že využitie princípu odrazu slnečných lúčov zrkadlami a ich zameranie do jediného bodu mohlo za určitých podmienok spôsobiť vzplanutie lode. Praktickú skúšku vykonal roku 1973 grécky vedec Ioannis Sakkas. Pokus uskutočnil v námornej základni Skaramagas neďaleko Atén. Použil 70 medených zrkadiel s rozmermi 1,5 × 1 metra. Zameral sa na model rímskej vojnovej lode z preglejky vo vzdialenosti 50 metrov. Po presnom zameraní všetkých zrkadiel, začala loď počas niekoľkých sekúnd horieť. Ďalší praktický experiment uskutočnila v roku 2005 skupinka študentov z MIT. V pokuse použili 39 štvorcových metrov zrkadiel, ktoré zamerali na drevený model lode. Ten vzplanul len vtedy, keď bolo obloha bez mrakov a loď sa asi desať minút nepohybovala. Nakoniec došli k záveru, že za týchto podmienok by zbraň mohla byť funkčná, ale keďže je more od Syrakúz smerom na východ, nemohlo byť dosiahnutá energia potrebná na zapálenie lode. Na takúto krátku vzdialenosť by bolo výhodnejšie použiť jednoduchšie prostriedky (napr. zápalné šípy alebo katapult). Preto bolo Lucianovo tvrdenie spochybnené. A navyše sa hovorí, že lode zapaľovali vojaci vyleštenými štítmi čo ešte viac spochybňuje túto teóriu, pretože  by museli byť perfektne zorganizovaný. 
 
3.1.3 Archimedov pazúr
Ďalšia zbraň, o ktorej sa zachovali legendy, je Archimedov pazúr, použitý pri obrane mesta  pred nepriateľskými loďami. Bol tvorený žeriavom, na ktorom bol priviazaný kovový hák. Potom čo sa kovový hák zakliesnil za loď v blízkosti hradieb, zdvihol ju nahor a tým sa  loď prevrátila. Súčasné pokusy potvrdili, že Archimedov pazúr mohol byť naozaj funkčný. Filozof Plutarchos o tom píše: „Keď Rimania zaútočili, v Syrakúzach zavládlo zdesenie a úzkostlivé ticho. Archimedes a jeho pomocníci však spustili stroje. Súčasne sa z hradieb nad rímske lode vysunuli ťažké trámy a silou zhora ich potápali do hlbín. Železnými hákmi, podobajúcimi sa jastrabím pazúrom, loď zachytili, zdvihli ju do výšky a potom ju vrhli o mestské hradby či späť do vody.“
 
3.1.4 Archimedova skrutka
Archimedova skrutka umožňuje efektívnejšie čerpanie vody. Väčšina Archimédových prác z odboru strojárstva slúžila na uspokojenie potrieb obyvateľov domovského mesta Syrakúz. Grécky spisovateľ Athenaeus z Naucratis opísal, ako kráľ Hiéron II. poveril Archimeda návrhom obrej lode Syrakúzie, ktorá by mohla byť použitá pre luxusné cestovanie a prevážanie zásob. Syrakúzia bola údajne najväčšia loď postavená v klasickom staroveku. Podľa Athenaeuse bola schopná pojať 600 ľudí a bola vybavená okrasnými záhonmi a chrámom zasväteným bohyni Afrodite. Veľmi dôležitým prvkom na lodi bola Archimedova skrutka, ktorej úlohou bolo odstraňovanie odpadovej vody. Tvorila ho šikmo postavená rúrka so zabudovanou špirálou uloženou na hriadeli. Čerpanie sa vykonávalo otáčaním hriadeľa, voda sa na hriadeli udržiavala pomocou gravitácie. Čerpadlo na princípe Archimedovej skrutky sa používa dodnes, poznáme ho, ako som sa v úvode zmieňoval, pod pojmom šnekový dopravník a požíva sa dokonca aj v Bystrickej čističke odpadových vôd. Jeho veľkou výhodou je jednoduchosť a spoľahlivosť i pri čerpaní silne znečistených kvapalín.
 
3.1.5 Všemocná páka
Archimedes objavil zákony páky, podľa ktorého sily pôsobiace na
páke pri rovnováhe sú nepriamo úmerné dĺžkam ich ramien. Dokázal tým, že nepatrnou silou možno uviesť do pohybu veľké bremeno. Svoje poznatky uplatnil pri konštrukcii mohutných kladkostrojov a vojenských
vrhacích mechanizmov (katapultov). S týmto objavom je tiež spojený jeho výrok: „Dajte mi pevný bod vo vesmíre a pohnem Zemou.“ Kráľ Hieronom ho požiadal, aby dokázal, či nepatrnou silou možno zodvihnúť veľké bremeno. Archimedes to vyskúšal na nákladnej lodi, ktorú mohol na breh vytiahnuť len veľký počet ľudí. Nariadil, aby na loď nastúpilo veľa ľudí a aby bola zaťažená obvyklým veľkým nákladom. Zaujal miesto neďaleko od brehu a bez veľkej námahy, vlastnými rukami pomocou kladkostroja, ľahko a bez porušenia rovnováhy vytiahol loď.

3.2 Matematika
Archimedes bol prvý, ktorý sa významne zaoberal nielen priamkami a rovinami, ale taktiež krivkami, oblými plochami, ich  obsahom a objemom tvarov, ktoré vymedzovali. Aby to mohol zvládnuť využíval ako jeden z mála Eudoxovu exhaustívnu metódu, ktorá bola vytvorená pre výpočet plôch alebo objemov konkrétnych obrazcov, či telies. Dokázal konkrétne výsledky zobecniť a našiel obecné pravidlá pre objem elipsoidu alebo paraboloidu. Obecné vzťahy pre objemy telies údajne skúšal najskôr hľadať tak, že telesá vyrábal z dreva, vážil ich. Podľa zmeny váhy usudzoval zmeny objemov a tie odhadoval obecnou zákonitosťou pre objem. Vzorec, o ktorom vďaka tomu už tušil, ako vyzerá, potom obecne odvodil. Odvodil tiež, že pomer medzi objemom valca: 2πr2 (s výškou rovnou jeho priemeru), gule: 4/3πr3 a kužeľa: 2/3πr3 do nej vpísaných je 3:2:1. (údajne vďaka tomuto výsledku Cicero podľa zvláštneho tvaru ­valca s vloženou guľou našiel zabudnutý Archimedov hrob)

3.2.1  π (pí)
Archimedes sa zaoberal určením približnej hodnoty čísla π (pí) - konštanty udávajúcej pomer obvodu kruhu k jeho priemeru, tiež nazývané Ludolfovo číslo. Na dosiahnutie správneho výsledku využíval postupy, podobné modernému integrálnemu počtu. Prostredníctvom dôkazu sporom mohol úlohu týkajúcu sa kruhu riešiť s takmer ľubovoľným stupňom presnosti. Za pomoci exhaustívnej metódy určil približnú hodnotu čísla π. Najskôr opísal väčší mnohouholník okolo kruhu a menší vpísal do kruhu. Potom počet strán mnohouholníka zväčšoval až na 96 a nakoniec spočítal ich dĺžky a vydelil ich priemerom. Správne tak určil, že číslo π leží v intervale: (približne  223/71=3,1408 <π <22/7=3,1429). Archimedes dokázal, že plocha kruhu je rovná hodnote π vynásobené druhou mocninou polomeru kruhu. A to tak, že pomocou exhaustívnej metódy zistil, že kruh si môžeme prekresliť na pravouhlý trojuholník s odvesnami o (obvod kruhu) a r (polomer kruhu). Z toho dostaneme vzťah S=1/2or. A ak máme obvod o definovaný ako pomer obvodu kružnice k jeho priemeru tak vieme vyjadriť obvod o=πd=2πr, keď tento vzorec na výpočet obvodu kruhu dosadíme do vzorca na výpočet obsahu dostávame S=πr2. Pri meraní gule Archimedes používal odmocninu z 3, ktorú udal ako hodnotu medzi 265/153 (približne 1,7320231) a 1351/780 (približne 1,7320512). Skutočná hodnota je zhruba 1,7320508. K tomuto výsledku však Archimedes neuvádza spôsob, akým k nemu dospel.
 
3.2.2 Obsah pod parabolou
Archimedova genialita sa prejavila aj v jednom veľmi komplikovanom odvetví matematiky. Toto odvetvie sa zaoberá krivkami. Archimedes sa snažil vypočítať obsah pod parabolou. Metóda, akou to dokázal udivuje ľudí stále. Komplikovaná úvaha, akou to dokázal, môže napadnúť iba skutočného génia. Spočíva v jednoduchom zákone páky, ktorý poznáme z fyziky. Zákon páky znie: sila pôsobiaca na jedno rameno páky vynásobená dĺžkou ramena sa rovná sile pôsobiacej na druhé rameno páky vynásobenej dĺžkou druhého ramena. Ak tam dáme úsečky, je to v podstate to isté. Ak na jedno rameno páky zavesíme úsečku o dĺžke 1 centimeter, pričom rameno, na ktorom bude, bude mať 1 centimeter, aké dlhé bude druhé rameno, na ktorom bude úsečka s dĺžkou 2 centimetre, aby sa udržala rovnováha páky? Dĺžku úsečky si označíme „v“ a dĺžku ramena „d“. d1·v1=d2·v2 ; 1·1=d2·1 => d2=1/2. Jednoduchou úpravou zostavenej rovnice zistíme, že dĺžka ramena druhého ramena je jedna polovica. Tak isto to funguje aj s obsahmi. Archimedes sa snažil vypočítať obsah pod parabolou.

Parabola je komplikovaná krivka, ktorej dĺžka sa zmerať euklidovsky nedá. Jej predpis je y = x². Archimedes sa pokúsil vytvoriť iný útvar, ktorého obsah by sa dal vypočítať a podľa neho by sa dal vypočítať obsah útvaru pod parabolou. Dokreslil si k parabole trojuholník. (Obr.1)
Bod C má súradnice [x,0], to znamená, že v smere osi x je vzdialený od nuly o x. Ak predpis pre parabolu je y = x², tak dĺžka úsečky AC = x², pretože ak hodnota x je x, hodnota y bude x² a ak |[0;0]C| = x, tak |AC| = x². Úsečka |BD| ležiaca v dokreslenom trojuholníku má dĺžku x, pretože úsečka [1;1,5][1;-1,5] má dĺžku 1 a je vo vzdialenosti 1 od [0;0]. To znamená, že ak nanesieme úsečku do vzdialenosti x od [0;0], tá časť v trojuholníku bude mať dĺžku x, pretože trojuholníky [0;0][1;-1,5][1;1,5] a [0;0]DB sú si podobné. Archimedes si uvedomil jednu vec: ak úsečku AC prenesie do bodu K a úsečku BD nechá tam kde je a vytvorí akoby páku, budú tieto dve úsečky v rovnováhe, ak bod [0,0] je bodom otáčania.  |AC|= x2 ; |BD|= x (obr.2)
|AC|·1=|BD|·x ; x2·1=x·x; Tu je vidno že táto sústava je naozaj v rovnováhe. Čo sa bude ďalej diať? Takýchto čiernych úsečiek akou bola AD, urobil viacero. Tú časť týchto úsečiek ktoré boli v trojuholníku s rovnými čiarami nechal tam kde boli (ako napríklad BD). Tie, ktoré boli v krivočiarom trojuholníku preniesol do bodu K (ako napríklad AC). Podľa predchádzajúceho príkladu kde sme úsečky AC a BD vyvážili sa dá zistiť, že aj v tomto prípade je páka vyvážená. Teda úsečky paraboly, všetky naskladané v bode K, pôsobia v bode K, ale pre lepšiu orientáciu by sme si mohli radšej ten parabolický trojuholník z tých úsečiek na bode K znovu zložiť. Keďže dvojice úsečiek z trojuholníkov sú na páke v rovnováhe, je jasné, že aj oba trojuholníky budú v rovnováhe. (Obr.3)
„Tiaž“, akou pôsobí trojuholník na páku, sa nachádza v bode T, čo je jeho ťažiskom. Ako vidíme, úsečka [0;0][1;0] je jeho ťažnica, a ťažisko na ťažnici sa vždy nachádza v dvoch tretinách úsečky, spájajúcej vrchol trojuholníka so stredom protiľahlej strany. Na obrázku sme si trojuholníky označili P, ten s parabolou, a R, ten s rovnými stranami. Zavesme si ich na páku. Ak si vypočítame obsah trojuholníka R: SR=1/2v·p=1/2
a túto „obsahovú váhu“ zavesíme na bod na páke s názvom T, čo je ťažisko trojuholníka R, zistíme, že trojuholník R pôsobí na páku momentom sily rovnajúcemu sa jednej tretine: |P|·1=1/2·2/3=1/3
Pri takomto výsledku to môže mnohých zaraziť. Prečo? Pretože pri takom zvláštnom útvare ako parabola nám vyšlo také krásne racionálne číslo. To znamená, že ak narysujeme štvorec so stranou dĺžky 1 (čiže jeho obsah bude tiež 1) a vpíšem do neho parabolu, tá parabola mi ho predelí na jednu tretinu a dve tretiny. (Obr.4)
 
3.2.3  Výpočet segmentu paraboly
V diele Kvadratúra paraboly Archimedes dokázal, že oblasť ohraničená parabolou a priamkou je 4/3 násobok plochy vpísaného trojuholníka. Celý matematický problém vyjadril ako súčet nekonečného geometrického radu s kvocientom 4–1. Σ n=0 až ∞ 4–n= 1+ 4–1+ 4–2+ 4–3+...= 4/3
Za predpokladu, že prvé číslo v rovnici je plocha trojuholníka, je druhé číslo súčet dvoch trojuholníkov, ktorých "základne" (najdlhšej strany) sú "ramená" (kratšej strany) prvého trojuholníka. Takto súčet postupuje do nekonečna.
Tento postup použil nielen na stanovenie obsahu plochy pod parabolou, ale stanovil aj objem rotačného paraboloidu, elipsoidu a hyperboloidu.
Metóda je založená na podobnom princípe, aký sa dnes používa v integrálnom počte.
 
Vo spise O počítaní piesku ukázal, že sa dá konštruovať prirodzené čísla tak veľké, že nimi vyjadrený počet zrniek piesku vyplňujúcich celý vtedajší vesmír, bude využívať z tejto množiny len nepatrný zlomok.
Uvedomoval si, že jeho metóda je vlastne algoritmom (matematickým postupom, pozostávajúcim z nekonečného množstva základných úkonov) vytvárania stále väčších prirodzených čísel.
 
4  Záver
Som rád, že som vám mohol priblížiť život a dielo tohto geniálneho matematika a fyzika, ktorého dodnes uznáva celý vedecký svet. Dôkazom toho, že po sebe zanechal dielo obrovského významu, ktoré položilo základy pre ďalší rozvoj modernej vedy a techniky je aj to, že po ňom bolo pomenovaných  niekoľko objektov, na Mesiaci napríklad kráter (29,7 ° s. š, 4.0 ° W), pohoria Montes Archimedes (25,3 ° s. š, 4.6 ° W), ako aj asteroid 3600 Archimedes. A taktiež Matematická Fieldsova medaila nesie jeho portrét.
Archimedov výkrik: "Heuréka!" sa stal symbolom objavenia niečoho nového. V Kalifornii sa stalo mottom, tu však pripomína objav zlata v tomto regióne roku 1848.