Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmické rovnice a nerovnice

Logaritmická funkcia

Logaritmická funkcia je každá funkcia, ktorú vieme zapísať v tvare

y = log_a x

kde platí:

• a > 0 a a ≠ 1 – číslo a sa volá základ logaritmu
• x > 0 – číslo x je argument logaritmu

Medzi logaritmom a mocninou platí základný vzťah:

log_a x = y ⇔ a^y = x

To znamená: log_a x je taký exponent y, na ktorý musíme umocniť a, aby sme dostali x.

Príklady:

• a = 10, 10^2 = 100 ⇒ log_10 100 = 2
• a = 2, 2^5 = 32 ⇒ log_2 32 = 5

Monotónnosť logaritmickej funkcie:

• ak a > 1, funkcia y = log_a x je rastúca
• ak 0 < a < 1, funkcia y = log_a x je klesajúca

Táto vlastnosť je veľmi dôležitá pri logaritmických nerovniciach, pretože rozhoduje, či sa znak nerovnosti po odlogaritmovaní zmení alebo nie.

Logaritmické rovnice

Logaritmická rovnica je rovnica, v ktorej sa vyskytuje logaritmus neznámej (premennej), napríklad:

log_2 (x − 1) = 3
log_3 (2x + 1) − log_3 (x − 2) = 1

Pri riešení logaritmických rovníc je vždy najdôležitejšie:

• nezabudnúť na podmienky, pri ktorých majú logaritmy zmysel
• na konci riešenia skontrolovať, či riešenia tieto podmienky spĺňajú

Postup riešenia logaritmických rovníc

Podmienky riešiteľnosti (definičný obor)

Najprv si určíme, pre ktoré x má rovnica zmysel:

• argument každého logaritmu musí byť kladný
  napríklad:
  log_2 (x − 3) ⇒ x − 3 > 0 ⇒ x > 3
• ak sa v rovnici nachádza nejaký menovateľ, nesmie byť nulový

Tieto podmienky si zapíšeme zvlášť – ako definičný obor rovnice.

Úprava rovnice

Cieľom je čo najčastejšie upraviť rovnicu na tvar:

log_a (výraz_1) = log_a (výraz_2)

Pri úprave využívame logaritmické vety (súčin, podiel, mocninu, odmocninu, zmenu základu). Často:

• spájame viac logaritmov do jedného,
• alebo naopak rozkladáme zložitejší výraz na súčet/rozdiel logaritmov.

Odlogaritmovanie

Ak máme rovnicu v tvare

log_a X = log_a Y

a základ a je ten istý, môžeme použiť vetu:

log_a X = log_a Y ⇔ X = Y

Logaritmy „zhodíme“ a porovnávame už iba argumenty.

Vznikne nám obyčajná algebraická rovnica bez logaritmov, ktorú riešime bežnými postupmi.

Riešenie novej rovnice a skúška

• vyriešime získanú rovnicu (lineárnu, kvadratickú...)
• získané riešenia skontrolujeme:
  • či spĺňajú podmienky (definičný obor)
  • či po dosadení do pôvodnej rovnice nevzniká napr. logaritmus zo záporného čísla alebo z nuly

Riešenia, ktoré porušujú podmienky (napr. x ≤ 3 pri log_2 (x − 3)), musíme vylúčiť.

Jednoduchý príklad logaritmickej rovnice

Rovnica:

log_2 (x − 1) = 3

Podmienky:

x − 1 > 0 ⇒ x > 1

Odlogaritmovanie:
log_2 (x − 1) = 3 ⇔ x − 1 = 2^3
x − 1 = 8
x = 9

Skúška:

x = 9 je väčšie ako 1, podmienku spĺňa, po dosadení:
log_2 (9 − 1) = log_2 8 = 3 – platí.

Riešenie: x = 9.

Logaritmické nerovnice

Logaritmická nerovnica je nerovnica, v ktorej sa vyskytuje logaritmus premennej, napríklad:

log_3 (2x − 1) > 2
log_0.5 (x + 4) ≤ 1

Riešenie je podobné ako pri roviciach, ale musíme veľmi dôsledne sledovať, či je logaritmická funkcia rastúca alebo klesajúca.

Postup riešenia logaritmických nerovníc

Podmienky riešiteľnosti

Opäť platí:

• argument každého logaritmu musí byť kladný
  napr. log_3 (2x − 1) ⇒ 2x − 1 > 0 ⇒ x > 0.5
• nesmieme deliť nulou
• prípadné ďalšie obmedzenia (odmocniny, zlomky...)

Úprava nerovnice

Snažíme sa dostať nerovnicu do tvaru:

log_a X > log_a Y
log_a X < log_a Y
log_a X ≥ log_a Y
log_a X ≤ log_a Y

pričom logaritmy majú ten istý základ a.

Odlogaritmovanie – rozhoduje základ a

Tu prichádza najdôležitejší moment:

• ak a > 1 (funkcia je rastúca):

  log_a X > log_a Y ⇔ X > Y
  log_a X < log_a Y ⇔ X < Y

  znak nerovnosti zostáva rovnaký

• ak 0 < a < 1 (funkcia je klesajúca):

  log_a X > log_a Y ⇔ X < Y
  log_a X < log_a Y ⇔ X > Y

  znak nerovnosti sa otočí

Preto si vždy všímaj, či je základ logaritmu väčší ako 1 alebo medzi 0 a 1.

Skúška a podmienky

Na záver:

• riešenia preveríme podľa podmienok (argumenty logaritmov musia zostať kladné)
• prípadne riešenia dosadíme do pôvodnej nerovnice, aby sme sa uistili, že nerovnosť platí

Jednoduchý príklad logaritmickej nerovnice

Nerovnica:

log_3 (2x − 1) > 2

Podmienky:

2x − 1 > 0 ⇒ x > 0.5

Základ logaritmu: a = 3, teda a > 1 – funkcia je rastúca, znak nerovnosti sa nemení.

Odlogaritmovanie:

log_3 (2x − 1) > 2 ⇔ 2x − 1 > 3^2
2x − 1 > 9
2x > 10
x > 5

Teraz spojíme so základnou podmienkou x > 0.5:
výsledná podmienka je x > 5 (je silnejšia).

Riešenie: všetky reálne čísla x, pre ktoré platí x > 5.

Vlastnosti logaritmov (logaritmické vety)

Nech a > 0, a ≠ 1 je základ logaritmu a m, n > 0.

Logaritmus súčinu

log_a (m * n) = log_a m + log_a n

Slovne: logaritmus súčinu dvoch kladných čísel sa rovná súčtu logaritmov jednotlivých činiteľov.

Logaritmus podielu

log_a (m / n) = log_a m − log_a n

Slovne: logaritmus podielu sa rovná rozdielu logaritmov čitateľa a menovateľa.

Logaritmus mocniny

log_a (m^k) = k * log_a m

Slovne: logaritmus mocniny kladného čísla sa rovná súčinu exponentu a logaritmu základu tejto mocniny.

Logaritmus odmocniny

k-tá odmocnina z m je:

sqrtk = m^(1 / k)

Potom:

log_a (sqrtk) = log_a (m^(1 / k)) = (1 / k) * log_a m

Slovne: logaritmus odmocniny sa rovná logaritmu čísla pod odmocninou vydelenému odmocniteľom.

Zmena základu logaritmu

Pre kladné čísla a, b, x, kde a ≠ 1 a b ≠ 1:

log_a x = (log_b x) / (log_b a)

Táto veta umožňuje prepočítať logaritmus z jedného základu na iný základ (napr. z log_2 na log_10).

Krátke zhrnutie učiva

• Logaritmická funkcia má tvar y = log_a x, kde a > 0, a ≠ 1 a x > 0.
• Logaritmus log_a x je exponent, na ktorý umocníme a, aby sme dostali x.
• Pri logaritmických rovniach vždy:
  • určujeme podmienky (kladné argumenty logaritmov),
  • snažíme sa dostať tvar log_a (výraz_1) = log_a (výraz_2),
  • odlogaritmujeme a riešime bežnú rovnicu,
  • na konci robíme skúšku a prienik s podmienkami.
• Pri logaritmických nerovniciach navyše:
  • sledujeme, či je a > 1 (rastúca funkcia) alebo 0 < a < 1 (klesajúca funkcia),
  • pri a > 1 znak nerovnosti po odlogaritmovaní ostáva,
  • pri 0 < a < 1 sa otočí.
• Logaritmické vety (súčin, podiel, mocnina, odmocnina, zmena základu) sú základný „nástroj“ na úpravu rovníc a nerovníc.

Viď. dokument nižšie.