Dôkazy v matematike – druhy dôkazov a postup dokazovania

Dôkazy v matematike – druhy dôkazov a postup dokazovania

Dôkazy v matematike – v matematike nestačí iba povedať, že určité tvrdenie platí. Je potrebné jeho platnosť logicky zdôvodniť. Na tento účel používame matematické dôkazy.

Pri dokazovaní vychádzame zo známych a už platných tvrdení, definícií alebo z axióm.

Axióma

Axióma je základné tvrdenie, ktoré sa v danej teórii považuje za pravdivé a ďalej sa nedokazuje.

Príklady tvrdení uvedených v poznámkach:

• Priamka je daná dvomi bodmi.
• Rovina je určená tromi bodmi, ktoré neležia na jednej priamke.
• Zem sa točí okolo Slnka.

Druhy matematických dôkazov

Medzi základné spôsoby dokazovania patria:

1. priamy dôkaz,
2. nepriamy dôkaz,
3. dôkaz sporom.

1. Priamy dôkaz

Pri priamom dôkaze vychádzame zo známych platných tvrdení a pomocou logických krokov z nich odvodzujeme ďalšie tvrdenia. Takto pokračujeme dovtedy, kým sa nedostaneme priamo k tvrdeniu, ktoré máme dokázať.

Zjednodušene môžeme postup zapísať:

známe tvrdenia → ďalšie logické dôsledky → dokazované tvrdenie

Postup pri priamom dôkaze

1. Určíme, čo máme dokázať.
2. Vychádzame zo známych predpokladov, definícií a už dokázaných tvrdení.
3. Postupne vykonávame logické alebo algebraické úpravy.
4. Dopracujeme sa k požadovanému tvrdeniu.

Príklad s deliteľnosťou číslom 3

V poznámkach sa pri dôkaze rozlišujú tri možné prípady prirodzeného čísla podľa jeho zvyšku po delení tromi:

• n = 3k
• n = 3k + 1
• n = 3k + 2

Každé celé číslo možno zaradiť práve do jedného z týchto troch prípadov.

Pre jednotlivé prípady sa v poznámkach upravuje výraz obsahujúci n(n² + 2).

1. prípad: n = 3k

Ak platí:

n = 3k,

potom má skúmaný výraz už priamo činiteľ 3.

2. prípad: n = 3k + 1

Po dosadení:

(3k + 1)[(3k + 1)² + 2]

dostávame:

(3k + 1)(9k² + 6k + 3)

pričom:

9k² + 6k + 3 = 3(3k² + 2k + 1).

Vo výsledku sa teda objaví činiteľ 3.

3. prípad: n = 3k + 2

Po dosadení:

(3k + 2)[(3k + 2)² + 2]

dostávame:

(3k + 2)(9k² + 12k + 6)

a výraz v druhej zátvorke môžeme zapísať:

9k² + 12k + 6 = 3(3k² + 4k + 2).

Aj v tomto prípade sa vo výsledku nachádza činiteľ 3.

Záver: Pri priamom dôkaze sme skúmali všetky možné prípady a v každom z nich sme postupnými úpravami dospeli k požadovanej vlastnosti.

2. Nepriamy dôkaz

Pri nepriamom dôkaze nepostupujeme priamo k dokazovanému tvrdeniu. Pracujeme s jeho negáciou alebo, v prípade implikácie, s jej obmenou.

Ak ukážeme, že príslušné nepriamym spôsobom vytvorené tvrdenie vedie k požadovanému výsledku, môžeme potvrdiť platnosť pôvodného výroku.

Nepriamy dôkaz pomocou negácie

Postup môže byť nasledovný:

1. Určíme tvrdenie, ktoré chceme dokázať.
2. Vytvoríme jeho negáciu.
3. Dokážeme, že táto negácia nemôže platiť.
4. Z toho vyplýva, že pôvodné tvrdenie platí.

Nepriamy dôkaz implikácie

Ak dokazujeme implikáciu:

A ⇒ B,

môžeme namiesto nej dokazovať jej obmenu:

¬B ⇒ ¬A.

Implikácia a jej obmena majú rovnakú pravdivostnú hodnotu. Ak teda dokážeme platnosť obmeny, platí aj pôvodná implikácia.

Obmena implikácie

Pri vytváraní obmeny:

• zameníme predpoklad a záver,
• oba výroky zároveň negujeme.

Schéma:

Pôvodná implikácia: A ⇒ B
Obmena: ¬B ⇒ ¬A

Príklad

V poznámkach sa pri nepriamom dôkaze pracuje s deliteľnosťou číslom 3.

Po vytvorení obmeny sa využíva skutočnosť, že ak je číslo n deliteľné tromi, môžeme ho zapísať v tvare:

n = 3k,

kde k je celé číslo.

Po dokázaní obmeny môžeme skonštatovať:

Obmena platí, a preto platí aj pôvodný výrok.

3. Dôkaz sporom

Dôkaz sporom je spôsob dokazovania, pri ktorom dočasne predpokladáme, že dokazované tvrdenie neplatí.

Z tohto predpokladu potom pomocou logických krokov odvodzujeme ďalšie tvrdenia. Ak sa dostaneme k tvrdeniu, ktoré je zjavne nepravdivé alebo si odporuje s už známym faktom, vznikne spor.

Keďže predpoklad viedol k sporu, nemohol byť pravdivý. Preto musí platiť pôvodné tvrdenie.

Postup dôkazu sporom

1. Máme tvrdenie, ktoré chceme dokázať.
2. Predpokladáme jeho negáciu.
3. Z tejto negácie odvodzujeme ďalšie dôsledky.
4. Dostaneme sa k tvrdeniu, ktoré nemôže platiť.
5. Vznikne spor.
6. Z toho vyplýva, že negácia bola nesprávna.
7. Pôvodné tvrdenie teda platí.

Schéma dôkazu sporom:

negácia dokazovaného tvrdenia → logické dôsledky → spor → pôvodné tvrdenie platí

Negácia kvantifikátorov

Pri dôkazoch je dôležité správne vytvoriť negáciu výroku s kvantifikátorom.

• Negáciou všeobecného kvantifikátora je existenčný kvantifikátor.
• Negáciou existenčného kvantifikátora je všeobecný kvantifikátor.

To znamená, že pri negovaní výroku sa mení nielen samotné tvrdenie, ale aj použitý kvantifikátor.

Príklad s párnym číslom

V poznámkach sa pri dôkaze využíva vlastnosť párnych čísel.

Ak je číslo n párne, môžeme ho zapísať v tvare:

n = 2k.

Jeho druhá mocnina je:

n² = (2k)² = 4k² = 2 · 2k².

Z posledného zápisu vidíme, že n² je tiež párne číslo, pretože ho možno zapísať ako dvojnásobok celého čísla.

Porovnanie jednotlivých druhov dôkazov

Čo si zapamätať

• Matematický dôkaz slúži na logické potvrdenie pravdivosti tvrdenia.
• Axiómy sú základné tvrdenia, ktoré sa v danej teórii nedokazujú.
• Pri priamom dôkaze postupujeme od predpokladov priamo k záveru.
• Pri nepriamom dôkaze môžeme dokazovať obmenu pôvodnej implikácie.
• Implikácia A ⇒ B má obmenu ¬B ⇒ ¬A.
• Pri dôkaze sporom predpokladáme negáciu tvrdenia a hľadáme rozpor.
• Ak predpoklad vedie k sporu, pôvodné tvrdenie musí platiť.
• Pri negovaní výroku sa všeobecný a existenčný kvantifikátor navzájom zamieňajú.