Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice

Rovnice a nerovnice patria medzi základné témy matematiky. Pri ich riešení určujeme hodnoty neznámych, pre ktoré daná rovnosť alebo nerovnosť platí. Dôležité je poznať základné pojmy, správne používať ekvivalentné úpravy a vedieť rozlíšiť lineárne a kvadratické rovnice či nerovnice.

1. Rovnica

Čo je rovnica?

Porovnajme:

2 + 7 = 9
– ide o rovnosť.

2 + x = 9
– ide o rovnicu, pretože obsahuje neznámu x.

Rovnica je výroková forma, ktorá sa po dosadení určitej hodnoty za premennú stáva výrokom o rovnosti čísel.

Výrok a výroková forma

Výrok je tvrdenie, pri ktorom môžeme rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé.

Napríklad:

3 + 7 = 10

Je to pravdivý výrok.

Výraz:

x + 7 = 10, x ∈ R

je výroková forma. Až po dosadení konkrétneho čísla za x dostaneme výrok.

• pre x = 3: 3 + 7 = 10 – pravdivý výrok,
• pre x = 5: 5 + 7 = 10 – nepravdivý výrok.

Základné pojmy

• Premenná – symbol, za ktorý môžeme dosadzovať rôzne hodnoty, napríklad x.
• Neznáma – premenná, ktorej hodnotu v rovnici hľadáme.
• Definičný obor – množina všetkých hodnôt, ktoré môžeme za premennú dosadiť tak, aby vznikol zmysluplný výrok.
• Koreň rovnice – číslo, po ktorého dosadení za neznámu dostaneme pravdivú rovnosť.
• Množina koreňov K – množina všetkých riešení rovnice.

Čo znamená vyriešiť rovnicu?

Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene, teda určiť množinu K.

2. Lineárne rovnice

Čo je lineárna rovnica?

Lineárna rovnica obsahuje neznámu najviac v prvej mocnine.

Základný tvar:

ax + b = 0

kde a, b ∈ R.

Príklad:

2x − 1 = 0

Pri riešení hľadáme všetky hodnoty x, po ktorých dosadení vznikne pravdivá rovnosť.

Ekvivalentné úpravy rovníc

Pri riešení rovníc používame najmä ekvivalentné úpravy. Sú to také úpravy, pri ktorých sa množina riešení rovnice nezmení.

Môžeme napríklad:

• pripočítať k obom stranám rovnaké číslo,
• odčítať od oboch strán rovnaké číslo,
• násobiť obe strany rovnakým nenulovým číslom,
• deliť obe strany rovnakým nenulovým číslom,
• upraviť výrazy na jednej alebo oboch stranách.

Jednoduchý príklad

x + 1 = 0

Od oboch strán odčítame 1:

x = −1

Preto:

K = {−1}

Postup pri riešení lineárnej rovnice

1. Odstránime zátvorky.
2. Odstránime zlomky.
3. Upravíme podobné členy.
4. Členy s neznámou presunieme na jednu stranu.
5. Známe členy presunieme na druhú stranu.
6. Vydelíme koeficientom pri neznámej.
7. Zapíšeme množinu riešení K.

Príklad

(7x − 1) / 3 = 5x − 6 − (5 + 3x) / 2

Odstránime zlomky:

2(7x − 1) = 30x − 36 − 3(5 + 3x)

Odstránime zátvorky:

14x − 2 = 30x − 36 − 15 − 9x

Upravíme:

14x − 2 = 21x − 51

Neznáme presunieme na jednu stranu a čísla na druhú:

14x − 21x = 2 − 51

−7x = −49

x = 7

Preto:

K = {7}

3. Koľko riešení môže mať lineárna rovnica?

Pri rovnici:

ax + b = 0

môžu nastať tri základné prípady.

1. Jedno riešenie

Ak a ≠ 0, potom:

ax = −b

a:

x = −b / a

Rovnica má práve jeden koreň.

2. Nekonečne veľa riešení

Ak po úprave dostaneme:

0 = 0

ide o pravdivú rovnosť. Rovnicu potom spĺňa každé číslo zo základnej množiny.

Ak riešime v množine reálnych čísel:

K = R

3. Žiadne riešenie

Ak po úprave vznikne nepravdivý výrok, napríklad:

5 = 3

pôvodná rovnica nemá žiadne riešenie.

K = ∅

4. Lineárne rovnice s dvoma neznámymi

Lineárna rovnica s dvoma neznámymi má tvar:

ax + by = c

kde a, b, c ∈ R.

V množine reálnych čísel môže mať jedna takáto rovnica nekonečne veľa riešení.

Riešením je usporiadaná dvojica čísel (x, y).

Ak máme dve alebo viac lineárnych rovníc s rovnakými neznámymi, hovoríme o sústave rovníc.

5. Kvadratická rovnica

Čo je kvadratická rovnica?

Kvadratická rovnica je rovnica tvaru:

ax² + bx + c = 0

kde:

a, b, c ∈ R, a ≠ 0

Podmienka a ≠ 0 je dôležitá. Ak by a = 0, člen ax² by zmizol a už by nešlo o kvadratickú rovnicu.

Normovaný tvar kvadratickej rovnice

Ak celú rovnicu vydelíme číslom a, dostaneme:

x² + px + q = 0

pričom:

p = b / a
q = c / a

6. Neúplné kvadratické rovnice

Kvadratická rovnica bez absolútneho člena

Ak c = 0, dostaneme:

ax² + bx = 0

Vytkneme x:

x(ax + b) = 0

Využijeme pravidlo:

Súčin je rovný nule vtedy, ak je aspoň jeden z jeho činiteľov rovný nule.

Rýdzo kvadratická rovnica

Ak b = 0, dostaneme:

ax² + c = 0

alebo po úprave:

x² + q = 0

7. Riešenie kvadratickej rovnice rozkladom na súčin

Príklad:

x² − 5x + 6 = 0

Rozložíme trojčlen:

(x − 2)(x − 3) = 0

Platí:

x − 2 = 0

alebo:

x − 3 = 0

Preto:

x₁ = 2
x₂ = 3

K = {2, 3}

8. Riešenie kvadratickej rovnice pomocou diskriminantu

Pre rovnicu:

ax² + bx + c = 0

najskôr vypočítame diskriminant:

D = b² − 4ac

Ak D > 0

Rovnica má dva rôzne reálne korene.

x_1,2 = (−b ± √D) / 2a

Ak D = 0

Rovnica má jeden dvojnásobný reálny koreň:

x = −b / 2a

Ak D < 0

Rovnica nemá v množine reálnych čísel žiadne riešenie:

K = ∅

9. Príklad kvadratickej rovnice

Máme:

15x² − 38x + 24 = 0

Určíme koeficienty:

a = 15, b = −38, c = 24

Diskriminant:

D = b² − 4ac

D = (−38)² − 4 · 15 · 24

D = 1444 − 1440

D = 4

Keďže D > 0, rovnica má dva rôzne reálne korene.

x_1,2 = (38 ± 2) / 30

x₁ = 40 / 30 = 4 / 3

x₂ = 36 / 30 = 6 / 5

K = {4/3, 6/5}

Pozor: V pôvodnom materiáli sú pri tomto príklade uvedené výsledky 3/4 a 5/6, tie však nezodpovedajú uvedenému výpočtu.

10. Vzťahy medzi koreňmi a koeficientmi kvadratickej rovnice

Ak má kvadratická rovnica korene x₁ a x₂, môžeme kvadratický trojčlen zapísať:

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Ide o rozklad kvadratického trojčlena na súčin koreňových činiteľov.

Pre normovanú rovnicu:

x² + px + q = 0

platí:

p = −(x₁ + x₂)

q = x₁ · x₂

Teda:

x₁ + x₂ = −b / a

x₁ · x₂ = c / a

11. Nerovnica

Čo je nerovnica?

Nerovnica je výroková forma, ktorá sa po dosadení hodnoty za premennú stáva výrokom o nerovnosti čísel.

Používame znaky:

• < – menšie ako,
• > – väčšie ako,
• ≤ – menšie alebo rovné,
• ≥ – väčšie alebo rovné.

Riešením nerovnice býva často celý interval alebo viac intervalov čísel.

12. Lineárna nerovnica

Lineárna nerovnica môže mať tvar:

ax + b < 0
ax + b ≤ 0
ax + b > 0
ax + b ≥ 0

kde a, b ∈ R.

Príklad

−5x ≥ 2

Obe strany vydelíme číslom −5.

Pri delení záporným číslom musíme obrátiť znak nerovnosti.

x ≤ −2/5

Riešením je:

K = (−∞, −2/5]

Hranatá zátvorka znamená, že číslo −2/5 do riešenia patrí.

13. Najdôležitejšie pravidlo pri nerovniciach

Pri násobení alebo delení nerovnice záporným číslom sa znak nerovnosti obráti.

Napríklad:

−2x > 6

Po vydelení číslom −2:

x < −3

Teda:

• > sa zmení na <,
• < sa zmení na >,
• ≥ sa zmení na ≤,
• ≤ sa zmení na ≥.

14. Kvadratická nerovnica

Kvadratická nerovnica môže mať tvar:

ax² + bx + c < 0
ax² + bx + c ≤ 0
ax² + bx + c > 0
ax² + bx + c ≥ 0

pričom:

a ≠ 0

Postup riešenia kvadratickej nerovnice

1. Anulujeme nerovnicu – upravíme ju tak, aby na jednej strane bola nula.
2. Nájdeme nulové body – vyriešime príslušnú kvadratickú rovnicu.
3. Zakreslíme nulové body na číselnú os.
4. Rozdelíme číselnú os na intervaly.
5. Určíme znamienko výrazu v jednotlivých intervaloch.
6. Vyberieme intervaly, ktoré spĺňajú pôvodnú nerovnicu.

15. Metóda intervalov

Metóda intervalov sa používa najmä pri riešení nerovníc.

Základný postup:

1. Nájdeme nulové body.
2. Zakreslíme ich na číselnú os.
3. Rozdelíme číselnú os na intervaly.
4. V jednotlivých intervaloch zisťujeme znamienko výrazu.
5. Vyberieme intervaly, ktoré spĺňajú zadanú nerovnicu.

Ak sú napríklad nulové body:

x₁ = 2, x₂ = 5

číselná os sa rozdelí na intervaly:

(−∞, 2), (2, 5), (5, ∞)

16. Ekvivalentné úpravy nerovníc

1. Výmena strán nerovnice – súčasne sa obráti znak nerovnosti.
2. Nahradenie výrazu ekvivalentným výrazom – znak sa nemení.
3. Pripočítanie alebo odčítanie rovnakého výrazu na oboch stranách – znak sa nemení.
4. Násobenie alebo delenie kladným číslom – znak sa nemení.
5. Násobenie alebo delenie záporným číslom – znak sa obráti.
6. Umocnenie oboch strán je možné za určitých podmienok.
7. Odmocnenie oboch strán je možné za určitých podmienok.
8. Logaritmovanie oboch strán pri rovnakom základe väčšom ako 1 zachováva znak nerovnosti, ak sú obe strany kladné.

17. Ekvivalentná a dôsledková úprava

Ekvivalentná úprava

Pri ekvivalentnej úprave sa množina riešení nemení.

Ak pri riešení používame iba ekvivalentné úpravy, skúška spravidla nie je nevyhnutnou súčasťou riešenia. Môžeme ju však použiť na kontrolu správnosti výpočtu.

Dôsledková úprava

Dôsledková úprava nie je ekvivalentná. Môže spôsobiť, že vzniknú nové korene alebo niektoré pôvodné riešenia zaniknú.

Typickým príkladom je umocňovanie alebo odmocňovanie rovnice.

Pri takýchto úpravách je preto potrebné vykonať skúšku.

18. Skúška správnosti

Pri skúške dosadíme vypočítaný koreň do pôvodnej rovnice.

Príklad:

x + 1 = 0

Riešenie:

x = −1

Skúška:

−1 + 1 = 0

0 = 0

Koreň je teda správny.

Pri nerovniciach býva riešením veľké množstvo čísel, preto správnosť môžeme približne kontrolovať dosadením vhodných hodnôt z jednotlivých intervalov.

19. Rýchle opakovanie

Rovnica

Obsahuje znak =. Hľadáme hodnoty, pre ktoré platí rovnosť.

Nerovnica

Obsahuje jeden zo znakov <, >, ≤, ≥. Hľadáme množinu hodnôt, pre ktoré nerovnosť platí.

Lineárna rovnica

Najvyššia mocnina neznámej je 1.

Typický tvar:

ax + b = 0

Kvadratická rovnica

Najvyššia mocnina neznámej je 2.

Typický tvar:

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Diskriminant

D = b² − 4ac

• D > 0 → dva rôzne reálne korene,
• D = 0 → jeden dvojnásobný reálny koreň,
• D < 0 → žiadny reálny koreň.

Čo si určite zapamätať

1. Koreň rovnice je hodnota neznámej, pri ktorej je rovnica pravdivá.
2. Riešiť rovnicu znamená nájsť všetky jej korene.
3. Lineárna rovnica obsahuje neznámu v 1. mocnine.
4. Kvadratická rovnica obsahuje člen s x².
5. Pri kvadratickej rovnici často používame diskriminant.
6. Nerovnice môžu mať ako riešenie celé intervaly čísel.
7. Pri delení alebo násobení nerovnice záporným číslom sa obráti znak nerovnosti.
8. Pri dôsledkových úpravách môže vzniknúť nesprávny koreň, preto je potrebná skúška.
9. Pri kvadratických nerovniciach sú veľmi dôležité nulové body, číselná os a metóda intervalov.