Postupnosti

Postupnosti

Postupnosť je funkcia, ktorej definičným oborom je množina všetkých prirodzených čísel N. Funkčná hodnota tejto funkcie priradená číslu n ∈ N sa nazýva n-tý člen postupnosti a označuje sa najčastejšie ako a_n, b_n a podobne.

Postupnosť s n-tým členom a_n sa označuje {a_n}.

Napríklad postupnosť všetkých prirodzených nepárnych čísel je funkcia, ktorá číslu 1 priraďuje číslo a₁ = 1, číslu 2 číslo a₂ = 3, číslu 3 číslo a₃ = 5. Všeobecne číslu n priraďuje číslo a_n = 2n − 1.

Postupnosť týchto čísel môžeme zapísať takto: 1 = a₁, 3 = a₂, 5 = a₃, 7 = a₄, 9 = a₅.

Grafom postupnosti sú jednotlivé izolované body. Napríklad pre postupnosť nepárnych čísel sú to body s pravouhlými súradnicami: (1,1), (2,3), (3,5), (4,7), (5,9).

Rozlišujeme konečnú a nekonečnú postupnosť.

• Konečná postupnosť sa zapisuje: a₁, a₂, a₃, ..., a_k = {a_n}, kde n = 1 až k.
  Definičným oborom je množina prvých k prirodzených čísel.
• Nekonečná postupnosť sa zapisuje: a₁, a₂, a₃, ..., a_n = {a_n}, kde n = 1 až ∞, prípadne (a_n), kde n = 1 až ∞.
  Definičným oborom je celá množina prirodzených čísel.

Funkčný predpis postupnosti býva zadaný jedným z nasledujúcich spôsobov:

• Vzorecom – vyjadruje n-tý člen postupnosti {a_n} pomocou n.
  Napríklad pre postupnosť všetkých nepárnych prirodzených čísel platí: a_n = 2n − 1, n ∈ N.
  Túto postupnosť stručne zapisujeme ako {2n − 1}.
• Rekurentne – udaním prvého člena postupnosti a rekurentného vzorca, ktorý vyjadruje (n + 1)-vý člen pomocou predchádzajúcich členov.

Typy postupností

• Ohraničená postupnosť: existuje také číslo C, že platí |a_n| ≤ C.
• Rastúca postupnosť: platí a_n+1 > a_n.
• Klesajúca postupnosť: platí a_n+1 < a_n, napríklad pri postupnosti 12, 10, 8, 6, ....

Viď. dokument nižšie.