Pravouhlý a všeobecný trojuholník – vlastnosti, vzorce a vety

Pravouhlý a všeobecný trojuholník – vlastnosti, vzorce a vety

Pravouhlý a všeobecný trojuholník patrí medzi základné geometrické útvary. Pri riešení úloh využívame jeho strany, vnútorné uhly, výšky, ťažnice, obvod, obsah a kružnice spojené s trojuholníkom. Pre pravouhlý trojuholník navyše platia špeciálne vzťahy, napríklad Pytagorova veta a Euklidove vety.

Všeobecný trojuholník

Uvažujme trojuholník ABC. Používame nasledujúce označenia:

• a, b, c – dĺžky strán trojuholníka, pričom:
  • strana a leží oproti vrcholu A,
  • strana b leží oproti vrcholu B,
  • strana c leží oproti vrcholu C,
• α, β, γ – veľkosti vnútorných uhlov pri vrcholoch A, B a C,
• r – polomer kružnice opísanej trojuholníku podľa označenia v pôvodnom materiáli,
• s – polomer kružnice vpísanej trojuholníku podľa označenia v pôvodnom materiáli,
• v_a, v_b, v_c – výšky na strany a, b a c,
• t_a, t_b, t_c – ťažnice na strany a, b a c,
• S – obsah trojuholníka,
• O – obvod trojuholníka.

Základné vlastnosti trojuholníka

Súčet vnútorných uhlov

Súčet veľkostí všetkých troch vnútorných uhlov každého trojuholníka je:

α + β + γ = 180°

Ak poznáme dva vnútorné uhly trojuholníka, tretí môžeme vypočítať odčítaním ich súčtu od 180°.

Vzťah medzi stranami a uhlami

Oproti väčšiemu vnútornému uhlu leží dlhšia strana. Napríklad:

α > β ⇒ a > b

Podobne oproti najväčšiemu uhlu trojuholníka leží jeho najdlhšia strana.

Trojuholníková nerovnosť

Súčet dĺžok ľubovoľných dvoch strán trojuholníka musí byť väčší ako dĺžka tretej strany.

a + b > c

Analogicky platí aj:

• a + c > b,
• b + c > a.

Vzťah strán a výšok

Dĺžky strán trojuholníka sú v nepriamom pomere k príslušným výškam:

a : b : c = 1/v_a : 1/v_b : 1/v_c

To znamená, že k dlhšej strane prislúcha menšia výška a ku kratšej strane väčšia výška.

Obvod trojuholníka

Obvod trojuholníka získame súčtom dĺžok všetkých jeho strán:

O = a + b + c

Obsah trojuholníka

Obsah pomocou strany a príslušnej výšky

Ak poznáme dĺžku strany a a výšku v_a na túto stranu, obsah vypočítame:

S = (a · v_a) / 2

Rovnakým spôsobom môžeme použiť ktorúkoľvek stranu a výšku, ktorá na ňu patrí.

Obsah pomocou dvoch strán a uhla medzi nimi

Ak poznáme dve strany a veľkosť uhla, ktorý zvierajú, môžeme použiť vzorce:

• S = (a · b · sin γ) / 2
• S = (b · c · sin α) / 2
• S = (a · c · sin β) / 2

Obsah pomocou polomeru opísanej kružnice

Podľa označenia použitého v pôvodnom materiáli platí:

S = 2r² · sin α · sin β · sin γ

Herónov vzorec

Herónov vzorec umožňuje vypočítať obsah trojuholníka, ak poznáme dĺžky všetkých troch strán.

Najskôr vypočítame polovicu obvodu:

s = O / 2 = (a + b + c) / 2

Potom platí:

S = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]

Poznámka k označeniu: V pôvodnom materiáli sa symbol s používa aj pre polomer vpísanej kružnice, aj pre polovicu obvodu v Herónovom vzorci. Pri riešení úloh je preto potrebné vždy sledovať, v akom význame sa symbol používa.

Sínusová veta

Sínusová veta vyjadruje vzťah medzi dĺžkami strán trojuholníka a sínusmi uhlov, ktoré ležia oproti týmto stranám:

a : b : c = sin α : sin β : sin γ

Rovnaký vzťah môžeme zapísať aj v tvare:

a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2r

Strana a teda patrí k uhlu α, strana b k uhlu β a strana c k uhlu γ.

Kosínusová veta

Kosínusová veta spája dĺžky troch strán trojuholníka s veľkosťou jedného vnútorného uhla.

Pre stranu c a protiľahlý uhol γ platí:

c² = a² + b² – 2ab · cos γ

Vzorec sa používa najmä vtedy, keď poznáme dve strany a uhol medzi nimi alebo keď poznáme všetky tri strany a potrebujeme určiť veľkosť uhla.

Pravouhlý trojuholník

Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorý má jeden vnútorný uhol s veľkosťou 90°.

Ak má trojuholník ABC pravý uhol pri vrchole C, potom:

• a, b sú odvesny,
• c je prepona,
• prepona leží oproti pravému uhlu.

Pytagorova veta

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina dĺžky prepony rovná súčtu druhých mocnín dĺžok oboch odvesien.

c² = a² + b²

Z Pytagorovej vety môžeme podľa potreby vyjadriť ktorúkoľvek stranu:

• c = √(a² + b²)
• a = √(c² – b²)
• b = √(c² – a²)

Euklidove vety

Uvažujme pravouhlý trojuholník ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Výška v_c vedená z vrcholu C na preponu c rozdelí preponu v bode P na dva úseky:

• c_b = AP,
• c_a = PB.

Pre celú preponu platí:

c = c_a + c_b

Euklidova veta o výške

Druhá mocnina výšky na preponu sa rovná súčinu oboch úsekov prepony:

v_c² = c_a · c_b

Z toho môžeme výšku vyjadriť:

v_c = √(c_a · c_b)

Euklidove vety o odvesnách

Druhá mocnina odvesny sa rovná súčinu prepony a priľahlého úseku prepony.

• a² = c · c_a
• b² = c · c_b

Goniometrické funkcie v pravouhlom trojuholníku

Pre uhol α v pravouhlom trojuholníku ABC s preponou c platí:

• sin α = a / c
• cos α = b / c
• tg α = a / b

Pri uhle α je teda strana a protiľahlou odvesnou, strana b priľahlou odvesnou a strana c preponou.

Kružnica opísaná pravouhlému trojuholníku

V pravouhlom trojuholníku sa stred kružnice opísanej nachádza v strede prepony.

Ak je prepona AB, potom polomer opísanej kružnice je:

r = AB / 2

Prepona pravouhlého trojuholníka je teda priemerom jeho opísanej kružnice. Táto vlastnosť súvisí s Tálesovou kružnicou.

Prehľad najdôležitejších vzorcov

• Súčet uhlov: α + β + γ = 180°
• Obvod: O = a + b + c
• Obsah: S = (a · v_a) / 2
• Obsah pomocou dvoch strán: S = (a · b · sin γ) / 2
• Herónov vzorec: S = √[s(s – a)(s – b)(s – c)]
• Sínusová veta: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2r
• Kosínusová veta: c² = a² + b² – 2ab · cos γ
• Pytagorova veta: c² = a² + b²
• Euklidova veta o výške: v_c² = c_a · c_b
• Euklidove vety o odvesnách: a² = c · c_a, b² = c · c_b
• Goniometrické funkcie: sin α = a/c, cos α = b/c, tg α = a/b
• Polomer opísanej kružnice pravouhlého trojuholníka: r = AB/2