Metódy dôkazov v matematike – priamy, nepriamy dôkaz a dôkaz sporom

Metódy dôkazov v matematike – priamy, nepriamy dôkaz a dôkaz sporom

Metódy dôkazov v matematike – matematika používa presný jazyk, v ktorom musia mať jednotlivé pojmy a tvrdenia jednoznačný význam. V bežnom jazyku môže mať jedno slovo viac významov alebo môžeme tú istú vec pomenovať rôznymi slovami. V matematike by takáto nejednoznačnosť mohla viesť k nedorozumeniam, preto sú matematické pojmy presne definované a matematické tvrdenia sa dokazujú.

Základné pojmy v matematike

• Základné pojmy – pojmy, ktoré sa už ďalej nedefinujú a používajú sa ako východisko, napríklad množina, bod alebo číslo.
• Axióma – základné matematické tvrdenie, ktoré sa prijíma bez dôkazu.
• Definícia – presne opisuje význam nového matematického pojmu pomocou základných alebo už skôr definovaných pojmov.
• Matematická veta – tvrdenie o vlastnostiach matematických objektov, ktoré treba dokázať.
• Dôkaz – logické odvodenie matematického tvrdenia z axióm, definícií alebo už skôr dokázaných tvrdení.

Dôležité: Definícia a matematická veta nie sú to isté. Definícia vysvetľuje, čo určitý pojem znamená, zatiaľ čo matematická veta hovorí o jeho vlastnostiach a jej pravdivosť sa musí dokázať.

Základné logické symboly

Symbol	Význam	Príklad
∀	pre všetky	∀n ∈ N
∃	existuje	∃n ∈ N
⇒	z toho vyplýva	A ⇒ B
¬A	negácia výroku A	výrok A neplatí
n ∈ N	n je prirodzené číslo	n ∈ N
4 | n	4 delí číslo n	n je deliteľné číslom 4

Výrok a implikácia

Výrok je tvrdenie, pri ktorom môžeme rozhodnúť, či je pravdivé alebo nepravdivé. Pravdivosť alebo nepravdivosť výroku nazývame jeho pravdivostnou hodnotou.

Implikácia má tvar:

A ⇒ B

a čítame ju: „Ak platí A, potom platí B.“ Výrok A je predpoklad a výrok B je záver.

1. Priamy dôkaz

Priamy dôkaz je najjednoduchší spôsob dokazovania matematického tvrdenia. Začíname známym pravdivým tvrdením a pomocou logických krokov postupne dôjdeme k tvrdeniu, ktoré chceme dokázať.

Schému priameho dôkazu môžeme zapísať:

T₁ ⇒ T₂ ⇒ T₃ ⇒ ... ⇒ T_n ⇒ T

Prvé tvrdenie T₁ je axióma alebo už dokázané tvrdenie. Každé ďalšie tvrdenie musí logicky vyplývať z predchádzajúceho.

Postup pri priamom dôkaze

1. Zapíšeme predpoklady.
2. Vhodne označíme čísla alebo matematické objekty.
3. Postupne upravujeme výrazy alebo používame známe matematické tvrdenia.
4. Dôjdeme k požadovanému záveru.

Príklad: Súčet piatich po sebe idúcich párnych čísel

Tvrdenie: Súčet ľubovoľných piatich po sebe idúcich párnych prirodzených čísel je deliteľný číslom 10.

Ľubovoľné párne prirodzené číslo môžeme zapísať v tvare:

2n

Päť po sebe idúcich párnych čísel preto zapíšeme:

2n, 2n + 2, 2n + 4, 2n + 6, 2n + 8

Ich súčet je:

2n + (2n + 2) + (2n + 4) + (2n + 6) + (2n + 8)

Po úprave:

10n + 20 = 10(n + 2)

Výsledok je násobkom čísla 10, preto je súčet deliteľný číslom 10.

Ďalšie typické tvrdenia vhodné na priamy dôkaz

• Súčet troch po sebe idúcich prirodzených čísel je deliteľný číslom 3.
• Druhá mocnina nepárneho čísla je nepárna.
• Súčin troch po sebe idúcich prirodzených čísel je deliteľný číslom 6.
• Súčin štyroch po sebe idúcich prirodzených čísel je deliteľný číslom 24.

Rozdelenie dôkazu na viac prípadov

Pri niektorých tvrdeniach nestačí jeden spoločný postup. Môžeme preto všetky možnosti rozdeliť na niekoľko prípadov a každý prípad dokázať samostatne.

Napríklad prirodzené číslo môže byť:

• párne – n = 2k,
• nepárne – n = 2k + 1.

Príklad: Deliteľnosť výrazu n⁴ + 3n²

Tvrdenie: Pre každé prirodzené číslo n platí:

4 | (n⁴ + 3n²)

Dôkaz rozdelíme podľa toho, či je n párne alebo nepárne.

1. n je párne:

n = 2k

Potom:

n⁴ + 3n² = n²(n² + 3)

= 4k²(4k² + 3)

Vo výraze sa nachádza činiteľ 4, preto je celý výraz deliteľný číslom 4.

2. n je nepárne:

n = 2k + 1

Potom:

n⁴ + 3n² = (2k + 1)²[(2k + 1)² + 3]

Druhý činiteľ môžeme upraviť:

(2k + 1)² + 3 = 4k² + 4k + 4 = 4(k² + k + 1)

Aj v tomto prípade je výraz násobkom čísla 4.

Keďže sme dokázali oba možné prípady, tvrdenie platí pre každé prirodzené číslo n.

Rozdelenie podľa zvyšku po delení

Podobne môžeme pri dokazovaní deliteľnosti rozdeliť prirodzené čísla podľa zvyšku po delení.

Napríklad pri delení číslom 3 môže mať číslo iba jeden z troch tvarov:

• n = 3k,
• n = 3k + 1,
• n = 3k + 2.

Takéto rozdelenie je vhodné najmä v úlohách týkajúcich sa deliteľnosti číslom 3.

2. Priamy dôkaz implikácie

Ak máme dokázať implikáciu:

A ⇒ B,

predpokladáme, že výrok A je pravdivý, a pomocou logických krokov sa snažíme odvodiť pravdivosť výroku B.

Príklady implikácií

• Ak n nie je deliteľné číslom 3, potom jeho druhá mocnina dáva po delení číslom 3 zvyšok 1.
• Ak prirodzené číslo končí číslicou 5, potom jeho druhá mocnina končí dvojčíslím 25.

Pri dôkaze vždy začíname informáciou uvedenou za slovom „ak“ a postupne sa snažíme dôjsť k tvrdeniu uvedenému za slovom „potom“.

3. Nepriamy dôkaz

Nepriamy dôkaz využíva obmenu implikácie.

Ak máme implikáciu:

A ⇒ B,

jej obmena má tvar:

¬B ⇒ ¬A

Obmenu vytvoríme tak, že:

1. vymeníme poradie výrokov A a B,
2. oba výroky nahradíme ich negáciami.

Implikácia a jej obmena majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu. Preto namiesto pôvodnej implikácie môžeme dokázať jej obmenu.

Príklad obmeny implikácie

Pôvodná implikácia:

Ak je druhá mocnina čísla n párna, potom je aj číslo n párne.

Obmena:

Ak je číslo n nepárne, potom je aj jeho druhá mocnina nepárna.

Ak dokážeme druhé tvrdenie, dokázali sme zároveň aj pôvodnú implikáciu.

Pozor na negáciu implikácie

Obmena implikácie nie je to isté ako jej negácia. Pri nepriamom dôkaze používame obmenu implikácie, pretože tá má rovnakú pravdivostnú hodnotu ako pôvodná implikácia.

Kedy je nepriamy dôkaz výhodný?

Nepriamy dôkaz je vhodné použiť najmä vtedy, keď by bol priamy dôkaz komplikovaný, ale obmena implikácie sa dá dokázať jednoduchšie.

Príklad

Máme dokázať:

Ak číslo 5 nedelí výraz

n³ − 6n² + 2n − 10,

potom číslo n nie je deliteľné číslom 5.

Namiesto pôvodnej implikácie môžeme dokázať jej obmenu:

Ak 5 | n, potom 5 | (n³ − 6n² + 2n − 10).

Ak 5 | n, môžeme zapísať:

n = 5k.

Po dosadení do výrazu môžeme ukázať, že celý výraz obsahuje činiteľ 5, a teda je deliteľný číslom 5. Tým je dokázaná obmena, a teda aj pôvodné tvrdenie.

4. Dôkaz sporom

Dôkaz sporom je založený na predpoklade, že tvrdenie, ktoré chceme dokázať, neplatí. Z jeho negácie potom logickými krokmi odvodíme tvrdenie, ktoré je nemožné alebo odporuje známemu predpokladu.

Postup pri dôkaze sporom

1. Vyslovíme negáciu tvrdenia, ktoré chceme dokázať.
2. Predpokladáme, že táto negácia je pravdivá.
3. Z predpokladu postupne odvodzujeme ďalšie dôsledky.
4. Dostaneme sa k nepravdivému alebo nemožnému tvrdeniu – ku sporu.
5. Negácia pôvodného tvrdenia preto nemôže byť pravdivá.
6. Pôvodné tvrdenie musí byť pravdivé.

Schéma dôkazu sporom:

Predpokladáme ¬T ⇒ dôjdeme k sporu ⇒ ¬T je nepravdivé ⇒ T je pravdivé.

Príklad: Aritmetický a geometrický priemer

Tvrdenie: Pre ľubovoľné kladné reálne čísla a, b platí:

√(ab) ≤ (a + b) / 2

Predpokladajme opak:

√(ab) > (a + b) / 2

Po vynásobení dvoma:

2√(ab) > a + b

Keďže a a b sú kladné čísla, môžeme obe strany umocniť:

4ab > (a + b)²

4ab > a² + 2ab + b²

0 > a² − 2ab + b²

0 > (a − b)²

To je nemožné, pretože druhá mocnina každého reálneho čísla je nezáporná:

(a − b)² ≥ 0

Dostali sme spor. Predpoklad, že √(ab) > (a + b) / 2, je preto nepravdivý a platí:

√(ab) ≤ (a + b) / 2.

5. Dôkaz iracionality čísla √2

Jedným z najznámejších príkladov dôkazu sporom je dôkaz, že číslo √2 nie je racionálne.

Predpokladajme opak, teda že √2 je racionálne číslo.

Potom ho môžeme zapísať ako zlomok:

√2 = p / q

kde:

• p ∈ Z,
• q ∈ N,
• p a q sú nesúdeliteľné čísla.

Umocníme obe strany:

2 = p² / q²

2q² = p²

Z toho vyplýva, že p² je párne číslo. Preto je párne aj číslo p.

Môžeme teda zapísať:

p = 2k

Dosadíme:

2q² = 4k²

Po vydelení dvoma:

q² = 2k²

Z toho vyplýva, že aj q² je párne, a preto je párne aj číslo q.

Zistili sme teda, že čísla p aj q sú deliteľné číslom 2. To je však v rozpore s pôvodným predpokladom, že p a q sú nesúdeliteľné.

Vznikol spor, preto pôvodný predpoklad neplatí.

Číslo √2 teda nie je racionálne.

Podobným spôsobom možno dokazovať aj iracionalitu čísel √3 alebo √5.

6. Dôkazy v rôznych oblastiach matematiky

Matematické dôkazy sa nepoužívajú iba v teórii čísel. Tvrdenia je potrebné dokazovať aj v geometrii, algebre a ďalších oblastiach matematiky.

Medzi najstaršie matematické dôkazy patria geometrické dôkazy zo starovekého Grécka. Významnú úlohu v rozvoji klasickej geometrie mal matematik Euklides.

Dôkazy v geometrii

Pri geometrických dôkazoch môžeme vychádzať zo známych viet a pomocou nich odvodzovať ďalšie tvrdenia.

V pravouhlom trojuholníku možno napríklad:

• pomocou Euklidových viet dokázať Pytagorovu vetu,
• odvodzovať ďalšie vzťahy medzi stranami a výškou trojuholníka,
• dokazovať vlastnosti obsahov geometrických útvarov.

Hippokratove mesiačiky

Hippokratove mesiačiky vznikajú pomocou polkruhov zostrojených nad stranami pravouhlého trojuholníka. Ich vlastnosti predstavujú príklad toho, ako možno pomocou známych geometrických vzťahov dokazovať tvrdenia o obsahoch útvarov.

Dôkaz pomocou vzorcov

Pri geometrických telesách môžeme tvrdenie dokázať aj dosadením do známeho vzorca a následnou algebraickou úpravou.

Napríklad objem valca vypočítame:

V = πr²v

Ak porovnávame dva valce, môžeme do tohto vzorca dosadiť ich polomery a výšky a následne porovnať výsledné objemy.

Rovnaký princíp možno použiť pri dokazovaní vzťahov medzi objemami alebo povrchmi kužeľov a ďalších geometrických telies.

7. Prehľad základných metód dôkazu

Metóda	Princíp	Kedy ju používame
Priamy dôkaz	Zo známych tvrdení postupne odvodíme požadovaný záver.	Keď sa dá od predpokladov jednoducho postupovať k záveru.
Priamy dôkaz implikácie	Predpokladáme platnosť A a odvodíme B.	Pri tvrdeniach tvaru „ak A, potom B“.
Nepriamy dôkaz	Namiesto A ⇒ B dokazujeme obmenu ¬B ⇒ ¬A.	Keď je obmena jednoduchšia na dokazovanie než pôvodná implikácia.
Dôkaz sporom	Predpokladáme negáciu tvrdenia a odvodíme z nej nemožný výsledok.	Keď predpoklad opaku vedie jednoduchšie k rozporu.

8. Ako postupovať pri matematickom dôkaze

1. Pozorne si prečítaj tvrdenie. Urči, čo je predpoklad a čo treba dokázať.
2. Zapíš tvrdenie symbolicky, ak je to možné.
3. Vyber vhodnú metódu dôkazu.
4. Vhodne označ premenné. Párne číslo možno zapísať ako 2k, nepárne ako 2k + 1.
5. Používaj iba platné logické kroky. Každý nový krok musí vyplývať z predchádzajúceho.
6. Pri deliteľnosti hľadaj násobok daného čísla. Ak chceme dokázať, že výraz je deliteľný číslom m, snažíme sa ho upraviť do tvaru m · k.
7. Ak treba, rozdeľ dôkaz na prípady. Napríklad párne a nepárne čísla alebo jednotlivé možné zvyšky po delení.
8. Pri implikácii zváž jej obmenu. Niekedy je ¬B ⇒ ¬A jednoduchšie dokázať ako A ⇒ B.
9. Pri dôkaze sporom jasne označ predpoklad opaku a vzniknutý spor.
10. Na konci vyslov záver. Uveď, že dokazované tvrdenie platí.

9. Čo si zapamätať

• Matematické tvrdenia musia byť formulované presne.
• Axiómy sú základné tvrdenia prijímané bez dôkazu.
• Definícia vysvetľuje význam pojmu, matematická veta vyjadruje tvrdenie, ktoré treba dokázať.
• Priamy dôkaz postupuje od predpokladov priamo k záveru.
• Implikácia A ⇒ B a jej obmena ¬B ⇒ ¬A majú rovnakú pravdivostnú hodnotu.
• Nepriamy dôkaz je založený na dokazovaní obmeny implikácie.
• Dôkaz sporom začína predpokladom, že dokazované tvrdenie neplatí.
• Ak tento predpoklad vedie k rozporu, pôvodné tvrdenie je pravdivé.
• Pri dôkazoch deliteľnosti je často užitočné zapisovať čísla pomocou násobkov a zvyškov.
• Matematické dôkazy sa používajú v teórii čísel, geometrii aj v ďalších oblastiach matematiky.