Vektory a vektorová algebra – prehľad, vzorce a základné operácie

Vektory a vektorová algebra – prehľad, vzorce a základné operácie

Vektorová algebra sa zaoberá vektormi, ich vlastnosťami a operáciami s nimi. Vektory sa využívajú v geometrii, analytickej geometrii, fyzike aj v ďalších oblastiach matematiky. Pomocou vektorov môžeme opisovať napríklad smer, posunutie, silu, rýchlosť alebo polohu bodov v priestore.

1. Orientované úsečky

Úsečka a orientovaná úsečka

Úsečka AB je množina všetkých bodov, ktoré ležia na priamke AB medzi bodmi A a B vrátane bodov A a B.

• Ak A = B, hovoríme o nulovej úsečke.
• Orientovaná úsečka AB je úsečka, ktorej krajné body majú určené poradie.
• Bod A je začiatočný bod orientovanej úsečky.
• Bod B je koncový bod orientovanej úsečky.
• Nulová orientovaná úsečka má rovnaký začiatočný aj koncový bod.

Veľkosť úsečky AB označujeme:

|AB|

Je to nezáporné reálne číslo, ktoré vyjadruje dĺžku úsečky vzhľadom na zvolenú jednotkovú úsečku. Pre nulovú úsečku platí:

|AA| = 0

Rozdiel medzi úsečkou a orientovanou úsečkou

Ak sú A a B dva rôzne body, potom pre obyčajnú úsečku platí:

AB = BA

Pri orientovaných úsečkách však záleží na smere:

→AB ≠ →BA

Orientované úsečky →AB a →BA majú rovnakú veľkosť, ale opačný smer.

Reálny násobok orientovanej úsečky

Nech je k ∈ R a →AB je orientovaná úsečka. Orientovanú úsečku →AC definujeme vzťahom:

→AC = k · →AB

Potom platí:

|AC| = |k| · |AB|

• ak k > 0, úsečka →AC má rovnaký smer ako →AB,
• ak k < 0, úsečka →AC má opačný smer,
• ak k = 0, dostaneme nulovú orientovanú úsečku.

Príklad: Ak |AB| = 4 cm a k = −2, potom |AC| = 8 cm, pričom →AC má opačný smer ako →AB.

Študent by mal vedieť

• rozlíšiť úsečku a orientovanú úsečku,
• určiť začiatok, koniec, smer a veľkosť orientovanej úsečky,
• zostrojiť celočíselný alebo racionálny násobok danej orientovanej úsečky.

2. Vektory a operácie s vektormi

Čo je vektor?

Orientované úsečky, ktoré majú rovnaký smer a rovnakú veľkosť, predstavujú jeden a ten istý vektor.

Vektory označujeme napríklad:

u, v, w

V tlačenom texte sa vektory často zapisujú tučným písmom, v ručnom zápise sa nad označenie píše šípka.

Ak orientovaná úsečka AB znázorňuje vektor v, zapisujeme:

v = →AB

Orientovaná úsečka →AB sa vtedy nazýva umiestnenie vektora v.

Nulový vektor

Nulová orientovaná úsečka predstavuje nulový vektor. Označuje sa napríklad:

o

Nulový vektor má veľkosť 0 a nemá určený smer.

Súčet vektorov

Ak sú dané vektory:

u = →AB
v = →AC

ich súčet označujeme:

u + v

Geometricky ho môžeme zostrojiť napríklad pomocou rovnobežníkového pravidla alebo tak, že druhý vektor umiestnime za koniec prvého.

Pri sčítaní vektorov nezáleží na poradí:

u + v = v + u

Násobenie vektora číslom

Ak k ∈ R, potom:

k · u

je vektor, ktorého veľkosť je |k|-násobkom veľkosti vektora u.

• pri k > 0 má výsledný vektor rovnaký smer,
• pri k < 0 má opačný smer,
• pri k = 0 vznikne nulový vektor.

Opačný vektor

Opačný vektor k vektoru u označujeme:

−u

Má rovnakú veľkosť ako u, ale opačný smer.

Platí:

u + (−u) = o

Poznámka: V pôvodnom materiáli je pri charakteristike opačných vektorov pravdepodobne preklep. Pre opačné vektory platí u + v = o, teda v = −u.

Rozdiel vektorov

Odčítanie vektorov môžeme previesť na sčítanie s opačným vektorom:

u − v = u + (−v)

Dôležité: Výsledok operácií s vektormi nezávisí od konkrétneho umiestnenia vektorov.

Študent by mal vedieť

• rozpoznať orientované úsečky, ktoré predstavujú rovnaký vektor,
• graficky zostrojiť súčet a rozdiel dvoch vektorov,
• zostrojiť násobok vektora reálnym číslom,
• určiť opačný a nulový vektor.

3. Sústava súradníc na priamke, v rovine a v priestore

Sústava súradníc na priamke

Na priamke zvolíme dva rôzne body O a I.

• Bodu O priradíme číslo 0 – je to začiatok sústavy súradníc.
• Bodu I priradíme číslo 1.
• Úsečka OI je jednotková úsečka.

Bod X so súradnicou x zapisujeme:

X[x]

Platí:

→OX = x · →OI

Stred úsečky na priamke

Ak:

A[a], B[b]

potom súradnica stredu úsečky AB je:

S[(a + b) / 2]

Vzdialenosť dvoch bodov na priamke

Pre body A[a] a B[b] platí:

|AB| = |a − b|

Sústava súradníc v rovine

V rovine používame dve súradnicové osi:

• x-os,
• y-os.

Ich priesečník O je začiatok sústavy súradníc.

Bod M zapisujeme pomocou dvojice súradníc:

M[x, y]

Ortogonálna a ortonormálna sústava

Ak sú osi x a y na seba kolmé, ide o ortogonálnu – pravouhlú sústavu súradníc.

Ak sú navyše jednotkové úsečky na oboch osiach rovnako veľké, ide o ortonormálnu – karteziánsku sústavu súradníc.

Stred úsečky v rovine

Ak:

A[a₁, a₂]
B[b₁, b₂]

potom:

S[(a₁ + b₁)/2, (a₂ + b₂)/2]

Vzdialenosť dvoch bodov v rovine

|AB| = √((a₁ − b₁)² + (a₂ − b₂)²)

Ťažisko trojuholníka v rovine

Ak sú vrcholy trojuholníka:

A[a₁, a₂], B[b₁, b₂], C[c₁, c₂]

potom jeho ťažisko má súradnice:

T[(a₁ + b₁ + c₁)/3, (a₂ + b₂ + c₂)/3]

Sústava súradníc v priestore

V priestore používame tri súradnicové osi:

• x-os,
• y-os,
• z-os.

Bod v priestore zapisujeme:

M[x, y, z]

Sústava súradníc v priestore môže byť:

• ľavotočivá – používa sa napríklad v deskriptívnej geometrii,
• pravotočivá – používa sa vo fyzike a analytickej geometrii.

Stred úsečky v priestore

Ak:

A[a₁, a₂, a₃]
B[b₁, b₂, b₃]

potom:

S[(a₁ + b₁)/2, (a₂ + b₂)/2, (a₃ + b₃)/2]

Vzdialenosť dvoch bodov v priestore

|AB| = √((a₁ − b₁)² + (a₂ − b₂)² + (a₃ − b₃)²)

Ťažisko trojuholníka v priestore

Pre vrcholy A, B a C platí:

T[(a₁ + b₁ + c₁)/3, (a₂ + b₂ + c₂)/3, (a₃ + b₃ + c₃)/3]

Študent by mal vedieť

• vypočítať vzdialenosť dvoch bodov,
• určiť súradnice stredu úsečky,
• vypočítať súradnice ťažiska trojuholníka,
• znázorniť body a geometrické telesá v súradnicovej sústave,
• určiť súradnice vrcholov kocky, kvádra alebo ihlana.

4. Súradnice vektorov

Súradnice vektora v rovine

Ak sú dané body:

A[a₁, a₂]
B[b₁, b₂]

potom vektor:

v = →AB

má súradnice:

v = [b₁ − a₁, b₂ − a₂]

Jednoducho povedané:

súradnice vektora = koncový bod − začiatočný bod

Súradnice vektora v priestore

Pre body:

A[a₁, a₂, a₃]
B[b₁, b₂, b₃]

platí:

→AB = [b₁ − a₁, b₂ − a₂, b₃ − a₃]

Používa sa aj zápis:

v = B − A

alebo:

B = A + v

Vektor môžeme preto chápať ako posunutie bodu. Ak bod A posunieme v smere vektora v o jeho veľkosť, dostaneme bod B.

Operácie so súradnicami vektorov

Nech:

u = [u₁, u₂, u₃]
v = [v₁, v₂, v₃]

Potom:

Súčet vektorov

u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂, u₃ + v₃]

Rozdiel vektorov

u − v = [u₁ − v₁, u₂ − v₂, u₃ − v₃]

Násobenie vektora číslom

k · u = [k · u₁, k · u₂, k · u₃]

Lineárna kombinácia vektorov

k · u + m · v = [k · u₁ + m · v₁, k · u₂ + m · v₂, k · u₃ + m · v₃]

Rovnobežné vektory

Dva vektory sú rovnobežné, ak je jeden z nich reálnym násobkom druhého:

u = k · v

Ich zodpovedajúce súradnice sú teda v rovnakom pomere.

Veľkosť vektora

Veľkosť vektora označujeme:

|v|

V rovine pre:

v = [v₁, v₂]

platí:

|v| = √(v₁² + v₂²)

V priestore pre:

v = [v₁, v₂, v₃]

platí:

|v| = √(v₁² + v₂² + v₃²)

Tento vzťah vyplýva z Pytagorovej vety.

Príklad

Ak:

v = [3, 4]

potom:

|v| = √(3² + 4²) = √25 = 5

Študent by mal vedieť

• vypočítať súradnice vektora z dvoch bodov,
• znázorniť vektor v súradnicovej sústave,
• vypočítať súčet a rozdiel vektorov,
• vypočítať násobok vektora,
• nájsť vektor rovnobežný s daným vektorom,
• vypočítať veľkosť vektora.

5. Skalárny súčin vektorov

Uhol dvoch vektorov

Ak majú dva nenulové vektory u a v spoločný začiatok, môžeme medzi nimi určiť uhol φ.

Uhol vektorov nie je definovaný, ak je aspoň jeden z nich nulový.

Definícia skalárneho súčinu

Ak nenulové vektory u a v zvierajú uhol φ, ich skalárny súčin je číslo:

u · v = |u| · |v| · cos φ

Ak je aspoň jeden vektor nulový, ich skalárny súčin je 0.

Skalárny súčin zo súradníc

V rovine:

u = [u₁, u₂]
v = [v₁, v₂]

potom:

u · v = u₁v₁ + u₂v₂

V priestore:

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃

Výpočet uhla dvoch vektorov

Zo vzorca pre skalárny súčin dostaneme:

cos φ = (u · v) / (|u| · |v|)

Uhol potom vypočítame:

φ = arccos((u · v) / (|u| · |v|))

Kolmosť vektorov

Dva nenulové vektory sú na seba kolmé práve vtedy, keď:

u · v = 0

Tento vzťah sa veľmi často používa pri zisťovaní, či sú dve priamky, hrany alebo smerové vektory navzájom kolmé.

Príklad

Nech:

u = [2, 3]
v = [3, −2]

Potom:

u · v = 2 · 3 + 3 · (−2) = 6 − 6 = 0

Preto sú vektory u a v na seba kolmé.

Využitie skalárneho súčinu vo fyzike

Ak na teleso pôsobí sila F a spôsobí posunutie d, pričom medzi silou a posunutím je uhol φ, vykonaná práca je:

W = |F| · |d| · cos φ

Teda:

W = F · d

Študent by mal vedieť

• vypočítať skalárny súčin zo súradníc,
• vypočítať skalárny súčin z veľkostí vektorov a ich uhla,
• zistiť, či sú dva vektory kolmé,
• vypočítať uhol medzi dvoma vektormi,
• určovať uhly v trojuholníkoch a štvoruholníkoch pomocou vektorov,
• vypočítať uhly medzi hranami priestorových telies.

6. Vektorový súčin vektorov

Vektorový súčin sa používa pri vektoroch v priestore. Na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je číslo, výsledkom vektorového súčinu je vektor.

Vektorový súčin označujeme:

u × v

Vlastnosti vektorového súčinu

Ak:

w = u × v

potom:

1. vektor w je kolmý na vektor u,
2. vektor w je kolmý na vektor v,
3. jeho smer určuje pravidlo pravej ruky,
4. jeho veľkosť je |w| = |u| · |v| · sin φ.

Ak je aspoň jeden z vektorov nulový, ich vektorový súčin je nulový vektor.

Pravidlo pravej ruky

Vektory u a v si predstavíme v jednej rovine. Smer vektora u × v určíme pomocou pravej ruky tak, aby výsledný vektor smeroval kolmo na rovinu oboch pôvodných vektorov.

Základné vlastnosti

Ak sú vektory u a v rovnobežné, potom:

u × v = o

Pri zámene poradia vektorov sa zmení smer výsledného vektora:

u × v = −(v × u)

Vektorový súčin preto nie je komutatívny.

Výpočet vektorového súčinu zo súradníc

Nech:

u = [u₁, u₂, u₃]
v = [v₁, v₂, v₃]

Potom:

u × v = [u₂v₃ − u₃v₂, u₃v₁ − u₁v₃, u₁v₂ − u₂v₁]

Vektor u × v môžeme použiť napríklad vtedy, keď potrebujeme nájsť vektor kolmý na dva dané vektory.

Obsah trojuholníka pomocou vektorového súčinu

Nech sú v trojuholníku ABC:

b = →AC
c = →AB

Potom obsah trojuholníka vypočítame:

S_ABC = 1/2 · |b × c|

Dôvodom je, že:

|b × c| = |b| · |c| · sin α

a klasický vzorec na obsah trojuholníka je:

S = 1/2 · b · c · sin α

Úlohu z roviny môžeme riešiť aj ako úlohu v priestore, ak všetkým bodom pridáme tretiu súradnicu:

z = 0

Napríklad:

A[2, 3] → A[2, 3, 0]

Zmiešaný súčin a objem rovnobežnostena

Rovnobežnosten je hranol, ktorého protiľahlé steny sú rovnobežné.

Ak jeho hrany vychádzajúce z jedného vrcholu predstavujú vektory:

u, v, w

potom jeho objem je:

V = |(u × v) · w|

Výraz:

(u × v) · w

nazývame zmiešaný súčin vektorov.

Absolútna hodnota sa používa preto, že objem telesa nemôže byť záporný.

Študent by mal vedieť

• vypočítať vektorový súčin dvoch vektorov v priestore,
• nájsť vektor kolmý na dva dané vektory,
• pomocou vektorového súčinu vypočítať obsah trojuholníka,
• použiť vektorový súčin pri úlohách v rovine aj v priestore,
• vypočítať objem rovnobežnostena pomocou zmiešaného súčinu,
• využívať vektory pri výpočtoch vzdialeností a priestorových geometrických úlohách.

Najdôležitejšie vzorce z vektorovej algebry

Výpočet	Vzorec
Súradnice vektora AB	→AB = B − A
Stred úsečky v rovine	S[(a1 + b1)/2, (a2 + b2)/2]
Stred úsečky v priestore	S[(a1 + b1)/2, (a2 + b2)/2, (a3 + b3)/2]
Veľkosť vektora v rovine	|v| = √(v12 + v22)
Veľkosť vektora v priestore	|v| = √(v12 + v22 + v32)
Skalárny súčin	u · v = |u| · |v| · cos φ
Skalárny súčin v priestore	u · v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Uhol vektorov	cos φ = (u · v) / (|u| · |v|)
Podmienka kolmosti	u · v = 0
Veľkosť vektorového súčinu	|u × v| = |u| · |v| · sin φ
Obsah trojuholníka	S = 1/2 · |u × v|
Objem rovnobežnostena	V = |(u × v) · w|

Vektory v skratke

• Vektor charakterizuje veľkosť a smer.
• Súradnice vektora získame ako koncový bod mínus začiatočný bod.
• Vektory môžeme sčítať, odčítať a násobiť reálnym číslom.
• Rovnobežné vektory sú navzájom reálnymi násobkami.
• Skalárny súčin je číslo a využíva sa najmä pri výpočte uhlov a zisťovaní kolmosti.
• Ak u · v = 0, nenulové vektory sú kolmé.
• Vektorový súčin je vektor kolmý na oba pôvodné vektory.
• Pomocou vektorového súčinu môžeme vypočítať obsah trojuholníka.
• Pomocou zmiešaného súčinu môžeme vypočítať objem rovnobežnostena.