Zhodné zobrazenia v rovine

Zhodné zobrazenia v rovine

Zhodné zobrazenia v rovine patria medzi dôležité geometrické zobrazenia, pri ktorých sa nemení veľkosť ani tvar útvaru. To znamená, že obraz útvaru je s pôvodným útvarom zhodný. Mení sa iba jeho poloha v rovine, prípadne orientácia. Základnými druhmi zhodných zobrazení sú osová súmernosť, stredová súmernosť, posunutie a otáčanie. Poznámky nižšie vychádzajú z priloženého podkladu.

Základná charakteristika

Pri zhodnom zobrazení sa útvar U zobrazí na útvar U′.

• U je vzor
• U′ je obraz
• platí: U ≅ U′

Zhodné zobrazenie zachováva:

• dĺžky strán
• veľkosti uhlov
• deliaci pomer
• vzájomnú polohu bodov a útvarov

To znamená napríklad, že:

• stred úsečky sa zobrazí opäť na stred úsečky
• ťažisko trojuholníka sa zobrazí na ťažisko
• ak bod patrí útvaru, jeho obraz patrí obrazu útvaru

Druhy zhodných zobrazení

Medzi zhodné zobrazenia v rovine patria:

• osová súmernosť
• stredová súmernosť
• posunutie
• otáčanie
• zložené zobrazenia zo zhodných zobrazení

Osová súmernosť

Osová súmernosť je zhodné zobrazenie, ktoré je určené priamkou, nazývanou os súmernosti.

Pri osovej súmernosti:

• každý bod a jeho obraz ležia na priamke kolmej na os súmernosti
• os súmernosti rozdeľuje úsečku medzi bodom a jeho obrazom na dve rovnaké časti
• mení sa orientácia útvaru
• body, ktoré ležia na osi súmernosti, sú samodružné body, teda zobrazia sa samy na seba

Osovo súmerné útvary

Medzi osovo súmerné útvary patria:

• úsečka
• rovnoramenný trojuholník – má 1 os súmernosti
• rovnostranný trojuholník – má 3 osi súmernosti
• štvorec – má 4 osi súmernosti
• obdĺžnik – má 2 osi súmernosti
• kosoštvorec – má 2 osi súmernosti
• deltoid – má 1 os súmernosti
• rovnoramenný lichobežník – má 1 os súmernosti
• kruh a kružnica
• pravidelný n-uholník – má n osí súmernosti

Zapamätaj si

Pri osovej súmernosti si možno predstaviť, že útvar vidíme v zrkadle. Obraz je rovnako veľký, ale „otočený“ podľa osi súmernosti.

Stredová súmernosť

Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, ktoré je určené bodom S, nazývaným stred súmernosti.

Pri stredovej súmernosti:

• bod S je stred súmernosti
• ak bod splýva so stredom súmernosti, je samodružný
• ak bod nie je stredom, jeho obraz leží na tej istej priamke so stredom
• stred súmernosti je stred úsečky, ktorú tvorí bod a jeho obraz
• zachováva sa orientácia

Stredovo súmerné útvary

Medzi stredovo súmerné útvary patria:

• úsečka
• kruh a kružnica
• štvorec
• obdĺžnik
• kosoštvorec
• kosodĺžnik
• pravidelný n-uholník, ale iba vtedy, ak je n párne

Zapamätaj si

Stredová súmernosť sa dá chápať ako otočenie útvaru o 180° okolo stredu súmernosti.

Posunutie

Posunutie je zhodné zobrazenie, ktoré je určené orientovanou úsečkou. Tá udáva:

• smer posunutia
• veľkosť posunutia

Pri posunutí sa každý bod útvaru presunie:

• rovnakým smerom
• o rovnakú vzdialenosť

Vlastnosti posunutia

• nemení sa veľkosť útvaru
• nemení sa tvar útvaru
• zachováva sa orientácia
• všetky body sa posúvajú rovnobežne

Jednoduchá predstava

Ak útvar len „presunieme“ po papieri na iné miesto bez otočenia a bez prevrátenia, ide o posunutie.

Otáčanie

Otáčanie je zhodné zobrazenie, ktoré je určené:

• stredom otáčania
• uhlom otáčania

Pri otáčaní:

• bod, ktorý splýva so stredom otáčania, je samodružný
• ostatné body sa otáčajú okolo stredu
• vzdialenosť bodu od stredu sa nemení
• mení sa iba jeho poloha podľa daného uhla

Smer otáčania

• ak sa otáča proti smeru hodinových ručičiek, uhol má znamienko +
• ak sa otáča v smere hodinových ručičiek, uhol má znamienko −

Zapamätaj si

Pri otáčaní zostáva každý bod od stredu stále rovnako vzdialený, len sa presunie po kružnici do novej polohy.

Prehľad v tabuľke

Čo je dobré vedieť na test

Najdôležitejšie fakty

• Zhodné zobrazenie zachováva veľkosť a tvar útvaru.
• Osová súmernosť mení orientáciu.
• Stredová súmernosť, posunutie aj otáčanie orientáciu zachovávajú.
• Pri osovej súmernosti sú samodružné body na osi súmernosti.
• Pri stredovej súmernosti je samodružný stred súmernosti.
• Pri otáčaní je samodružný stred otáčania.
• Pravidelný n-uholník je stredovo súmerný len vtedy, keď má párny počet strán.

Zhodné zobrazenia v rovine

Zhodné zobrazenia v rovine sú také zobrazenia, pri ktorých sa útvar nezväčšuje ani nezmenšuje. Patrí sem osová súmernosť, stredová súmernosť, posunutie a otáčanie. Každé z týchto zobrazení má svoje pravidlá, ale všetky spája to, že obraz je zhodný s pôvodným útvarom.

Viď. dokument nižšie.