Geometrická postupnosť – maturitná téma

Geometrická postupnosť – maturitná téma

Definícia geometrickej postupnosti

Geometrická postupnosť je postupnosť, v ktorej podiel medzi dvoma po sebe nasledujúcimi členmi je konštantný.
Tento podiel nazývame kvocient q.

Všeobecná podmienka:
a_(n+1) = a_n * q, kde q je konštantný kvocient.

Vlastnosti geometrickej postupnosti

• Ak q > 1, postupnosť je rastúca.
• Ak 0 < q < 1, postupnosť je klesajúca.
• Ak q = 1, postupnosť je konštantná.
• Ak q < 0, postupnosť je striedavá (hodnoty sa menia medzi kladnými a zápornými číslami).

Všeobecný vzorec pre n-tý člen geometrickej postupnosti

Pre ľubovoľný člen geometrickej postupnosti platí vzorec:
a_n = a_1 * q^(n – 1), kde:

• a_n je n-tý člen postupnosti,
• a_1 je prvý člen postupnosti,
• q je kvocient,
• n je poradové číslo člena.

Príklad:
Ak máme postupnosť {2, 6, 18, 54, ...}, potom:

• a_1 = 2, q = 3,
• a_5 = 2 * 3^(5 – 1) = 162.

Vzťah medzi dvoma ľubovoľnými členmi postupnosti

Všeobecný vzorec medzi členmi postupnosti:
a_s = a_r * q^(s – r)
Tento vzorec umožňuje vypočítať ľubovoľný člen postupnosti bez toho, aby sme potrebovali prvý člen.

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti

Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti vypočítame podľa vzorca:

• Ak q = 1:
  S_n = n * a_1
  (pretože všetky členy sú rovnaké).

• Ak q ≠ 1:
  S_n = a_1 * (1 – q^n) / (1 – q)

Príklad:
Ak máme postupnosť {3, 6, 12, 24, ...} a chceme nájsť súčet prvých 5 členov:

• a_1 = 3, q = 2, n = 5
• S_5 = 3 * (1 – 2^5) / (1 – 2)
• S_5 = 3 * (1 – 32) / -1 = 3 * 31 = 93.

Geometrický priemer

V geometrickej postupnosti platí, že každý člen (okrem prvého a posledného) je geometrickým priemerom svojich susedných členov.

Vzorec pre geometrický priemer:
a_n = sqrt(a_(n-1) * a_(n+1))

Príklad:
Ak poznáme členy a_4 = 10 a a_6 = 40, môžeme vypočítať a_5:
a_5 = sqrt(10 * 40) = sqrt(400) = 20.

Nekonečný geometrický rad

Ak máme nekonečnú geometrickú postupnosť so |q| < 1, môžeme vypočítať nekonečný súčet pomocou vzorca:
S = a_1 / (1 – q)

Príklad:
Ak máme postupnosť {1, 1/2, 1/4, 1/8, ...}, potom:

• a_1 = 1, q = 1/2
• S = 1 / (1 – 1/2) = 1 / (1/2) = 2.

Graf geometrickej postupnosti

• Grafom geometrickej postupnosti je sústava bodov, pričom ich vzdialenosť sa postupne zmenšuje alebo zväčšuje v závislosti od kvocientu q.
• Ak q > 1, hodnoty exponenciálne rastú.
• Ak 0 < q < 1, hodnoty exponenciálne klesajú.
• Ak q < 0, hodnoty sa striedajú medzi kladnými a zápornými.

Kompletný učebný materiál na stiahnutie

Celý dokument vo formáte PDF si môžete stiahnuť nižšie.