Pravdepodobnosť – úlohy a odpovede

Pravdepodobnosť – úlohy a odpovede

Pravdepodobnosť – úlohy

1. Z lístkov očíslovaných číslami 75 až 100 náhodne vytiahneme jeden lístok. Aká je pravdepodobnosť, že na lístku bude:

a) párne číslo

b) číslo deliteľné 4

c) číslo deliteľné 5

d) nepárne číslo väčšie ako 88

2. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode dvoma kockami (žltou a modrou) padne:

a) aspoň na jednej párne číslo

b) na oboch nepárne číslo

c) súčet 8

d) na oboch rovnaké číslo

e) súčet 13

f) súčet menší ako 13

3. Čo je pravdepodobnejšie: pri hode dvoma kockami padne súčet 11 alebo súčet 12?

4. V debne je 10 súčiastok, z nich 3 sú chybné. Náhodne vyberieme 4 súčiastky. Aká je pravdepodobnosť, že medzi nimi bude:

a) 0 chybných súčiastok

b) práve 1 chybná súčiastka

c) práve 2 chybné súčiastky

d) práve 4 chybné súčiastky

5. V lotérii sa žrebuje 5 čísel spomedzi 35. Za tri uhádnuté čísla sa vypláca piata cena. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráme piatu cenu, ak podáme tiket s jednou päticou čísel?

6. Z 32 hracích kariet vyberieme 5 kariet. Aká je pravdepodobnosť, že práve tri z nich budú zelené?

7. V triede je 24 dievčat a 16 chlapcov. Aká je pravdepodobnosť, že pri žrebovaní:

a) dvoch z nich bude 1 chlapec a 1 dievča

b) štyroch z nich budú 2 dievčatá a 2 chlapci

8. Z 12 mužov a 14 žien sa žrebujú traja zástupcovia. Aká je pravdepodobnosť, že:

a) to budú samé ženy

b) to budú dve ženy a jeden muž

9. V klobúku je 5 bielych, 4 čierne a 3 modré guľôčky. Aká je pravdepodobnosť, že z troch náhodne vytiahnutých guľôčok budú všetky tri rôznych farieb?

12. V zásielke je 100 párov topánok, z ktorých je 5 párov chybných. Kontrolór náhodne vyberie 5 párov. Aká je pravdepodobnosť, že 2 páry z nich budú chybné?

13. V triede je 30 žiakov, 7 z nich nemá vyriešený príklad. Učiteľ náhodne vyvolá 6 žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že 4 z nich vyriešili príklad?

14. Po vystriedaní si na striedačke náhodne sadlo vedľa seba päť hokejistov. Aká je pravdepodobnosť, že dvaja najlepší strelci z tejto pätice budú sedieť vedľa seba?

15. 5 dievčat si sadlo do kina vedľa seba. Aká je pravdepodobnosť, že najstaršia z nich bude sedieť v strede?

16. Na polici sú štyri rôzne, náhodne uložené fotografie. Aká je pravdepodobnosť, že dve najnovšie z nich budú vedľa seba?

Pravdepodobnosť – riešenia

Ako riešiť úlohy z pravdepodobnosti

Najčastejšie používaš tento vzorec:

P(A) = počet priaznivých možností / počet všetkých možností

Pri zložitejších úlohách, kde sa vyberá viac prvkov naraz a nezáleží na poradí, sa používa kombinačné číslo:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

To znamená: z n prvkov vyberáme k prvkov.

1. Z lístkov očíslovaných číslami 75 až 100 vytiahneme jeden lístok

Od 75 do 100 je spolu:

100 − 75 + 1 = 26 lístkov

a) párne číslo

Párnych čísel je 13.

P = 13 / 26 = 1 / 2 = 0,5

b) číslo deliteľné 4

Čísla deliteľné 4 v intervale 75 až 100 sú:

76, 80, 84, 88, 92, 96, 100

Je ich 7.

P = 7 / 26 ≈ 0,269

c) číslo deliteľné 5

Čísla deliteľné 5 sú:

75, 80, 85, 90, 95, 100

Je ich 6.

P = 6 / 26 = 3 / 13 ≈ 0,231

d) nepárne číslo väčšie ako 88

Nepárne čísla väčšie ako 88 sú:

89, 91, 93, 95, 97, 99

Je ich 6.

P = 6 / 26 = 3 / 13 ≈ 0,231

2. Pri hode dvoma kockami padne

Pri dvoch kockách je spolu:

6 · 6 = 36 možností

a) aspoň na jednej párne číslo

Jednoduchšie je použiť doplnok.

Na oboch kockách bude nepárne číslo:

3 · 3 = 9 možností

Teda:

P = 1 − 9 / 36 = 27 / 36 = 3 / 4 = 0,75

b) na oboch nepárne číslo

Na jednej kocke sú 3 nepárne čísla.

P = 3 / 6 · 3 / 6 = 9 / 36 = 1 / 4 = 0,25

c) súčet 8

Možnosti:

(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)

Je ich 5.

P = 5 / 36 ≈ 0,139

d) na oboch rovnaké číslo

Možnosti:

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)

Je ich 6.

P = 6 / 36 = 1 / 6 ≈ 0,167

e) súčet 13

Najväčší možný súčet pri dvoch kockách je 12, preto:

P = 0

f) súčet menší ako 13

Každý možný súčet je menší alebo rovný 12.

P = 1

3. Čo je pravdepodobnejšie: súčet 11 alebo súčet 12?

Súčet 11

Možnosti:

(5, 6), (6, 5)

P = 2 / 36

Súčet 12

Možnosť:

(6, 6)

P = 1 / 36

Preto je pravdepodobnejší súčet 11.

4. V debne je 10 súčiastok, z nich 3 sú chybné. Vyberieme 4 súčiastky

Počet všetkých výberov:

C(10, 4) = 210

Máme:

• 3 chybné
• 7 dobrých

a) 0 chybných súčiastok

Vyberieme 4 dobré zo 7:

P = C(7, 4) / C(10, 4) = 35 / 210 = 1 / 6 ≈ 0,167

b) práve 1 chybná súčiastka

Vyberieme 1 chybnú z 3 a 3 dobré zo 7:

P = C(3, 1) · C(7, 3) / C(10, 4) = 3 · 35 / 210 = 105 / 210 = 0,5

c) práve 2 chybné súčiastky

Vyberieme 2 chybné z 3 a 2 dobré zo 7:

P = C(3, 2) · C(7, 2) / C(10, 4) = 3 · 21 / 210 = 63 / 210 = 0,3

Pozor: tu bol v pôvodnom texte chybný výsledok.
Správne je 0,3.

d) práve 4 chybné súčiastky

Nie je možné vybrať 4 chybné, keď sú len 3.

P = 0

5. V lotérii sa žrebuje 5 čísel z 35. Aká je pravdepodobnosť, že trafíme presne 3 čísla?

Máme jednu päticu čísel na tikete.

Aby sme trafili presne 3 čísla:

• 3 čísla musia byť z našich 5
• 2 čísla musia byť z ostatných 30

P = C(5, 3) · C(30, 2) / C(35, 5)

P = 10 · 435 / 324632 = 4350 / 324632 ≈ 0,0134

6. Z 32 hracích kariet vyberieme 5. Aká je pravdepodobnosť, že práve 3 budú zelené?

V 32 kartách je jedna farba zastúpená 8 kartami, teda:

• 8 zelených
• 24 nezelených

P = C(8, 3) · C(24, 2) / C(32, 5)

P ≈ 0,077

7. V triede je 24 dievčat a 16 chlapcov

Spolu je 40 žiakov.

a) Pri žrebovaní dvoch bude 1 chlapec a 1 dievča

P = C(16, 1) · C(24, 1) / C(40, 2)

P = 16 · 24 / 780 = 384 / 780 ≈ 0,492

b) Pri žrebovaní štyroch budú 2 dievčatá a 2 chlapci

P = C(24, 2) · C(16, 2) / C(40, 4)

P ≈ 0,362

8. Z 12 mužov a 14 žien sa žrebujú traja zástupcovia

Spolu je 26 osôb.

a) samé ženy

P = C(14, 3) / C(26, 3)

P = 364 / 2600 = 0,14

b) dve ženy a jeden muž

P = C(14, 2) · C(12, 1) / C(26, 3)

P = 91 · 12 / 2600 = 1092 / 2600 = 0,42

9. V klobúku je 5 bielych, 4 čierne a 3 modré guľôčky. Vytiahneme 3

Chceme, aby každá guľôčka bola inej farby, teda:

• 1 biela
• 1 čierna
• 1 modrá

Počet priaznivých možností:

C(5, 1) · C(4, 1) · C(3, 1) = 5 · 4 · 3 = 60

Počet všetkých možností:

C(12, 3) = 220

P = 60 / 220 = 3 / 11 ≈ 0,273

12. V zásielke je 100 párov topánok, z nich 5 párov je chybných. Kontrolór vyberie 5 párov. Aká je pravdepodobnosť, že práve 2 budú chybné?

Máme:

• 5 chybných párov
• 95 dobrých párov

P = C(5, 2) · C(95, 3) / C(100, 5)

P ≈ 0,0184

13. V triede je 30 žiakov, 7 z nich nemá vyriešený príklad. Učiteľ vyvolá 6 žiakov. Aká je pravdepodobnosť, že 4 z nich vyriešili príklad?

Máme:

• 23 žiakov s vyriešeným príkladom
• 7 žiakov bez vyriešeného príkladu

Chceme, aby presne:

• 4 mali vyriešené
• 2 nemali vyriešené

P = C(23, 4) · C(7, 2) / C(30, 6)

P ≈ 0,313

14. Vedľa seba si sadlo 5 hokejistov. Aká je pravdepodobnosť, že dvaja najlepší strelci budú sedieť vedľa seba?

Počet všetkých usporiadaní 5 hokejistov:

5!

Dvoch najlepších strelcov berieme ako dvojicu. Túto dvojicu môžeme chápať ako jeden blok.

Potom máme:

• 4 objekty na usporiadanie
• dvojica sa môže v bloku prehodiť dvoma spôsobmi

Počet priaznivých usporiadaní:

4! · 2

Teda:

P = (4! · 2) / 5! = 48 / 120 = 0,4

15. 5 dievčat si sadlo do kina vedľa seba. Aká je pravdepodobnosť, že najstaršia bude sedieť v strede?

Zo 5 miest je presne jedno stredné miesto.

Najstaršia môže sedieť rovnako pravdepodobne na ktoromkoľvek z 5 miest.

P = 1 / 5 = 0,2

16. Na polici sú 4 rôzne náhodne uložené fotografie. Aká je pravdepodobnosť, že dve najnovšie budú vedľa seba?

Počet všetkých usporiadaní:

4!

Dve najnovšie fotografie považujeme za blok.

Potom usporadúvame:

• 3 objekty
• fotografie v bloku sa môžu prehodiť dvoma spôsobmi

Počet priaznivých usporiadaní:

3! · 2

Teda:

P = (3! · 2) / 4! = 12 / 24 = 0,5